第三节 第九章 三重积分 三重积分的概念 三重积分的计算 Q团p
第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三重积分 第九章
、三重积分的概念 引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不 均匀的物质,密度函数为(x,y,)∈C求分布在Q 内的物质的质量M 解决方法:类似二重积分解决问题的思想采用 “大化小,常代变近似和求极限” 可得 M=lim∑1(5.;,1k2k)△vk △v k →>0 k2k,5k Q团p
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用 k k k k ( , , )v ( , , ) k k k k v 引例: 设在空间有限闭区域内分布着某种不 均匀的物质, (x, y,z)C, 求分布在 可得 = n k 1 0 lim → M = “大化小,常代变,近似和,求极限” 解决方法: 内的物质的质量M. 密度函数为
定义.设f(x,y,=),(x,y,)∈g,若对Ω作任意分割: Ak(k=1,2,…,m)任意取点(5k,mk,k)∈Ak2下列 “乘积和式”极 imn∑(5,m,5k)△k记作』1(xy λ→>0k=1 存在,则称此极限为函数f(x,y,在9上的三重积分 dν称为体积元素在直角坐标系下常写作 dxdyda 性质:三重积分的性质与二重积分相似例如 中值定理.设∫(x,y,z)在有界闭域Ω上连续, V为Ω的体积,则存在(,n,)∈g,使得 !(xy)dy=/(55) Q团p
定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k f v → = lim ( , , ) 1 0 存在, f (x, y,z) f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 中值定理. 在有界闭域上连续, 则存在 (,, ), 使得 f (x, y,z)d v = f (,, )V V为的体积, “乘积和式”极 限 记作
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数f(x,y,z)≥0,并将它看作某物体 的密度函数,通过计算该物体的质量引出下列各 计算方法: 方法1.投影法(“先一后 方法2.截面法(“先二后-”) 方法3.三次积分法 最后,推广到一般可积函数的积分计算 Q团p
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 方法1. 投影法 (“先一后 二方法”)2. 截面法 (“先二后一”) 方法3. 三次积分法 先假设连续函数 f (x, y,z) 0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数, 计算方法:
方法1.投影法(“先一后 X c:/41(x,y)≤z≤ (x,y)∈D 细长柱体微元的质量为 (x,y) f(x,y, 2)dz dxdy 2+=(x; y 1(x,y) 该物体的质量为 f(,v, z)dv xak 2(x,y) D 1(x,y) 记 f(, y, z)dxdy dxd 2(x,y y f(x,y,=)d2 二1(x Q团p
z x y D = D dxdy 方法1. 投影法 (“先一后 二”) x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 f x y z z x y z x y z x y ( , , )d d d ( , ) ( , ) 2 1 该物体的质量为 f (x, y,z)d v ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d f (x, y,z)dxdy 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 微元线密度≈ 记作