第四节 第九章 重积分的应用 、立体体积 曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 Q团p
第四节 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 重积分的应用 第九章
能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是∫分布在有界闭域上的整体量 对区域具有可加性 用重积分解决问题的方法 用微元分析法(元素法) 从定积分定义出发建立积分式 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 Q团p
1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从定积分定义出发 建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法
、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面=f(x,y,(x,y)∈D, 则其体积为 ∫n( x, y)dxdy 占有空间有界域g的立体的体积为 dxd yd Q团p
一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 = D V f (x, y)dxdy • 占有空间有界域的立体的体积为 V = dxdydz
例1求曲面S1:z=x2+y2+1任一点的切平面与曲面 S2:z=x2+y2所围立体的体积V 解:曲面S在点x,y0)的切平面方程为 =2x0X+2vy+1 它与曲面z=x2+y2的交线在xy面上的投影为 (x-x0)2+(y-y0)2=1(记所围域为D) 2x0x+2y0y+1-x 2,yo -ydxd y D D1-(x-x)2+(y-y03)dxo Ax-xo=rcos0, y-yo=rsin0 7-lJ 2丌 r2· rdrd e=丌 de rdr=
任一点的切平面与曲面 所围立体的体积V. 解: 曲面 S1 的切平面方程为 2 0 2 2 0 2 0 1 0 z = x x + y y + − x − y 它与曲面 的交线在xoy面上的投影为 ( ) ( ) 1 2 0 2 x − x0 + y − y = V x y D d d = 2 2 − x − y 2 0 2 2 0 2 0 1 0 x x + y y + − x − y x y D 1 d d = − ( ) 2 0 2 0 (x − x ) + ( y − y ) = − 令 x − x0 = r cos , y − y0 = rsin 2 = (记所围域为D) 在点 D r r d r d 2 例1.求曲面 = − d r d r 1 0 3 2 0
例2求半径为m的球面与半顶角为c的 内接锥面所围成的立体的体积 解:在球坐标系下空间立体所占区 域为 0<r≤2ac0sq 2:0≤9≤a 0<0<2丌 dv=rsin gd edcdr 则立体体积为 2 acos dxdydz= d0 sin d r al 1 6a ra 4兀 cos sin d (1-cos a) 3J0 Q团p
x o y z 2a 例2. 求半径为a的球面与半顶角为的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区 域为 : 则立体体积为 V = dxdydz 2 cos 0 2 d a r r cos sin d 3 16 0 3 3 = a (1 cos ) 3 4 4 3 = − a 0 r 2a cos 0 0 2 0 sin d = 2 0 d dv r sin d d dr 2 = r M