第一单元 数项级数
第一单元 数项级数
级数的基本概念 表达式 a+a2+…+an+ 称为一个无穷级数,记为∑a,即 n=1 q=a1+a2+…+an+ 例1 1+-+-+…+-+· n=I n
级数的基本概念 表达式 1 2 n a a + + + " " a + 称为一个无穷级数，记为 ，即 1 n n a ∞ = ∑ 1 2 1 . i n n a a a a = ∞ ∑ = + +" " + + 1 1 1 1 1 1 . n n n 2 3 ∞ = 例1 ∑ = + + +" " + +
4对级数∑q,得部分和数列 ∑ a2=1+a,+…+a 例2设级数∑n,则部分和数列为 n=」 n(n+ n=1+2+…+n 1) n 例3设级数∑q,则部分和数列为 n=1 ∑q"=q q
对级数 ，得部分和数列 1 n n a ∞ = ∑ 1 2 1 . n i n i s a a a a = n = ∑ = + + " + 例2 设级数 ，则部分和数列为 n 1 n ∞ = ∑ 1 ( 1 ) 1 2 . 2 n n i n n s n n = + = = ∑ + + " + = 例3 设级数 ，则部分和数列为 1 n n q ∞ = ∑ 1 1 . 1 n n n n i q s q q = q − = = − ∑
设级数∑q,部分和数列(s)m,若部分和数列收 敛,则称级数∑是收敛的,并把极限叫做级数的和, 即:若lims.=s,则记 n→)00 ∑qn=s 若数列(s)1的极限不存在,则成级数是发散的。 例4等比级数∑q收敛→l<1,且 q g -9 n=1 n→1-q1-q
设级数 ，部分和数列 ，若部分和数列收 敛，则称级数 是收敛的，并把极限叫做级数的和， 即：若 ，则记 1 n n a ∞ = ∑ ( ) n n 1 s ∞ = 1 n n a ∞ = ∑ li m n n s s →∞ = 1 . n n a s ∞ = ∑ = 若数列 ( ) s n n 1 的极限不存在，则成级数是发散的。 ∞ = 例4 等比级数 收敛 ⇔|q|<1，且 1 n n q ∞ = ∑ 1 1 li m . 1 1 n n n n q q q q q q ∞ → ∞ = − = = − − ∑
2n+1 例5证明级数∑ 是收敛的, =1n(n+ 证因 2i+1 ∑ 2(+1) n lims.=lim 1 n→)00 (n+1) 即 2n+1 n2(n+1)
例5 证明级数 是收敛的， ( ) 2 2 1 2 1 n 1 n n n ∞ = + + ∑ 证 因 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n i n i s i i i i n ∞ = = ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ − = − ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ ∑ ∑ ( ) 2 1 li m l i m 1 1 1 n n n s n →∞ →∞ ⎛ ⎞ ∴ = − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 2 1 1. n 1 n n n ∞ = + = + ∑ 即