北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 第5节 方向导数与梯度

二、梯度 定义2设函数z=x,y)在点x,y)的某邻域内具 有一阶连续偏导数 1⊙，则向量 Ox oy 8I+ ∂x 称为函数z=x,y)在点(x,y)的梯度，记作gradfx, ),即 gradf() 影 0x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 定义2 设函数z＝f(x，y)在点(x，y)的某邻域内具 有一阶连续偏导数 ,则向量 y f x f     , j y f i x f      称为函数z＝f(x，y)在点(x，y)的梯度，记作gradf(x， y)，即 j y f i x f f x y      grad ( , ) 

(1)当0=0时， 达到最大，最大值是 gradf(x,y) 即方向与梯度的方向一致时，方向导数取到最大 值.梯度的方向是函数x,y)在点(x,y)增长最快 的方向 (2)当0=π时， 亲到最小，最小值是 -gradf(x,y). 即负梯度的方向是函数x,y)在点(x,y)减少最快 的方向 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 (1)当θ＝0时， 达到最大，最大值是 | ( , ) | . 2 2                   y f x f gradf x y  | gradf (x, y) | . l f   即方向l与梯度的方向一致时，方向导数取到最大 值．梯度的方向是函数f(x，y)在点(x，y)增长最快 的方向． (2)当θ＝π时， 达到最小，最小值是 l f   即负梯度的方向是函数f(x，y)在点(x，y)减少最快 的方向．