3.定义：设∑为一光滑的有向曲面，在∑上定义了一个 向量场A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,2),若对∑的任 意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在 lim 之[P(5,7,5(△S,)E 2→0 i=1 +Q(57,5,)△S,)Ex+R(5,17,5i(△S2)xy] 则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积 分，或第二类曲面积分.记作 ∬2 Pdydz+-Odzdx+Rdxdy PQ,R叫做被积函数，叫做积分曲面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 设 为一光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, = n i 1 Q i i i Si zx + ( , , )( ) 分, + + Pdy d z Qd z d x Rdxdy 记作 P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 A = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 3. 定义：
∬Pdyd称为P在有向曲面2上对y的曲面积分： 小2 Qdzdx称为Q在有向曲面2上对z,x的曲面积分 ∬Rdxdy称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分. 引例中，流过有向曲面的流体的流量为 =Pdyd=+Qd=dx+Rdxdy 若记∑正侧的单位法向量为n=(cos a,cos阝，cosy) 叉 ds=ndS=(d ydz,dzdx,dxdy) A=(P(xy,z),Q(x,y,2),R(x,y,2)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上 下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 Pd y d z 称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分; Rd xd y 称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分; = + + Pdy d z Qd z d x Rdxdy 若记 正侧的单位法向量为 令 n = (cos , cos , cos ) d S = nd S = (d yd z, d zd x, d xd y) A = (P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
Pdyd=+Qd=dx+Rdxdy =j∬sds=j∬zAds 4.对坐标的曲面积分的性质 (1)(分域性质如果把分成和2，则 ∬Pdydz-+Qd:dx+Rdxdy =∬Pdyd:+2dzdx+Rdxdy +∬Pdrd:+Qd:dx+Rdxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 4. 对坐标的曲面积分的性质 (1) (分域性质)如果把Σ分成Σ1和Σ2，则 + + Pd y d z Qd z d x Rd xd y = A nd S = A d S P y z Q z x R x y d d d d d d + + 1 P y z Q z x R x y d d d d d d = + + 2 P y z Q z x R x y d d d d d d . + + +
(2)设是有向曲面，-表示与2取相反侧的有向曲面 则 P(x.)dyd==-P(x.x)dyd=, ∬x,y,z)dzdx=-川(x,y,z)dzd, ∬Rx,ya)dxdy=-∬Rx,,a)dxd BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (2)设Σ是有向曲面，－Σ表示与Σ取相反侧的有向曲面， 则 P x y z y z P x y z y z ( , , )d d ( , , )d d , − = − Q x y z z x Q x y z z x ( , , )d d ( , , )d d , − = − R x y z x y R x y z x y ( , , )d d ( , , )d d . − = −