第十讲、恒定磁场(Ⅲ) §3.6、向量磁位 §3.8、电感
第十讲、恒定磁场（Ⅲ） §3.6、向量磁位 §3.8、电感
向量磁位 1、向量磁位的引入 V·B=0 B=V×A V×H (V×A)=8 V(V·A)-V2A=d 取规范:V·A=0 A VA=-A6→{V2A,=-6,(10.1) ①、对于全空间区域求解,边界在无穷远,设边界处的向量磁位为零, 媒质的磁导率为μ,上式的解为 πμ4上4 dhv'(10.2) 1 ds(10.3) ldl
一、向量磁位 1、向量磁位的引入 B B A Ñ × = 0 Þ = Ñ ´ 0 ( ) ( ) 2 Ñ × = Ñ Ñ × - Ñ = Ñ ´ = Þ Ñ ´ Ñ ´ = A A A H c A c 取规范： md d d ①、对于全空间区域求解，边界在无穷远，设边界处的向量磁位为零， 媒质的磁导率为μ，上式的解为 (10.1) 2 2 2 2 ï î ï í ì Ñ = - Ñ = - Ñ = - Ñ = - Þ z z y y x x A A A A md md md md (10 .2) ' 4 ' 4 ' 4 ' ' ' ï ï ï î ï ï ï í ì = = = Þ ò ò ò v z z v y y v x x dv r A dv r A dv r A d p m d p m d p m ' (10 .3) ' 4 ' ' 4 ' ò ò ò ò ï ï ï î ï ï ï í ì Þ = = v l s v r Idl ds r k dv r r dq v A d p m p m
②、对于空间存在不同媒质,应该分域解关于向量磁位的泊松方程 在分界面上利用向量位的边界条件进行连接,向量位的边界条件为 A= 4 (V×A1) (V×A2)1=K(10 对于平行平面场 A 10A a A K(10.5) 问题:如何从(10.4)导出(10.5)? 注意:(1)、规范的物理含义在于标量磁位的不确定性 V×A=V×(A+Vp)=V×A 令:V·A 这种‘截取’称为库仑规范。截取并非惟一,在近代物理学中,为满 足相对论条件,取 lorentz gauge;规范的更深刻的含义在于矛盾的 普遍性寓于矛盾的特殊性之中,例如,时间的长河无边无际,要度量 时间,必须截断;惯性系里认识速度,必须选一个参考系,诸如此类。 在这种截断下所得的向量磁位的计算公式,可以验证能够满足库仑规 范条件 VA A 4兀 这一分析方法,在当代数学、物理中得到广泛的运用
②、对于空间存在不同媒质，应该分域解关于向量磁位的泊松方程， 在分界面上利用向量位的边界条件进行连接，向量位的边界条件为 ï î ï í ì Ñ ´ - Ñ ´ = = A A K A A t t ( ) 1 ( ) 1 2 2 1 1 1 2 m m (10.4) 对于平行平面场 ï î ï í ì = ¶ ¶ - ¶ ¶ = K n A n A A A 2 2 1 1 1 2 1 1 m m (10.5) 问题：如何从（10.4）导出（10.5）？ 注意：（1）、规范的物理含义在于标量磁位的不确定性 Ñ ´ A = Ñ ´ A + Ñ = Ñ ´ A¢ ( f ) Ñ × A = 0 令： 这种‘截取’称为库仑规范。截取并非惟一，在近代物理学中，为满 足相对论条件，取 lorrentz gauge；规范的更深刻的含义在于矛盾的 普遍性寓于矛盾的特殊性之中，例如，时间的长河无边无际，要度量 时间，必须截断；惯性系里认识速度，必须选一个参考系，诸如此类。 在这种截断下所得的向量磁位的计算公式，可以验证能够满足库仑规 范条件 0 4 2 Ñ × = Û = ¢ Ñ = - ò A dv r A A d p md m 这一分析方法，在当代数学、物理中得到广泛的运用
(2)、利用向量磁位的计算确实比直接求解毕一沙定律简单 (3)、向量磁位只是一个辅助函数,并无物理意义 (4)、在边界条件:为什么在边界上向量磁位连续? 若不连续,由于B=V×A,故B将是无限大,不合理;另外磁感应强度 的法向连续,也要求n·[V×(A1-A)]=0,在边界上任意点都相同,要 求A=A2 磁通的向量磁位计算 p=B·d=V×Ad=1A:a (10.6) 3、向量磁位的算例 例10-1、空气中有一长度为L、截面为S、位于Z轴的短铜线,若电 流密度为大小8,方向沿轴向上,设电流密度均匀分布,求距铜线较 远处(r>L)处的磁感强度 解;分析,求B,可先求A Z 4兀 B=V×A k A Sdy 6·d 4兀r 4汇r°2 k ldl k x 4r°2 4兀r 图10.1电流元的磁场
（2）、利用向量磁位的计算确实比直接求解毕—沙定律简单 （3）、向量磁位只是一个辅助函数，并无物理意义 （4）、在边界条件：为什么在边界上向量磁位连续？ 若不连续，由于 B =Ñ´A,故 B 将是无限大，不合理；另外磁感应强度 的法向连续，也要求 n ·[Ñ´(A1-A2)]=0,在边界上任意点都相同，要 求 A1=A2 2、磁通的向量磁位计算 ò ò ò = × = Ñ´ × = × l s s B ds A ds A dl f （10.6） 3、向量磁位的算例 例 10-1、空气中有一长度为 L、截面为 S、位于 Z 轴的短铜线，若电 流密度为大小δ，方向沿轴向上，设电流密度均匀分布，求距铜线较 远处（r>>L）处的磁感强度 解；分析，求 B，可先求 A B A dv r A = Ñ´ = ¢ ò d p m 4 k r Idl r k ds dl r k dv r A L L L L p m p m d p m d p m 4 IL 4 4 4 2 2 2 2 = = = ¢ = × × ò ò ò - - a q I r P 图 10.1 电流元的磁场 Z X Y
B=V×A 4丌xj+h、o uIL. a az AIL yi + x 4兀 4兀 IL sin e 4兀 例10-2试分别利用安培环路定律和向量磁位的方法计算空气中细长 载流导线的磁场(设导线电流大小为I,沿Z轴放置,沿Z轴方向流 向) 线元大小为dz 解: A=Ak=21r女k= 4兀JL 4丌 R2+ 出mNR++D)-lm√R2+2-D LIR P(x, y, 0) k 2r.(VR2++L R 天2m(NR2+E+D)-mR 图102长直导线电流的磁场 B==VxA=- aAa= hol 该变换利用了如下的不定积分 OR 2TR ln(√1+x2+x) 柱坐标的旋度公式 F=r(104-04)+a(04-04)+k4t(m4)- r aa az az ar a 注意:1)A为无穷大,并不影响磁感强度;2)上式推导也可直接得出
例 10-2 试分别利用安培环路定律和向量磁位的方法计算空气中细长 载流导线的磁场（设导线电流大小为 I，沿 Z 轴放置，沿 Z 轴方向流 向） 解： 注意：1）A 为无穷大，并不影响磁感强度；2）上式推导也可直接得出 a q p m p m p m p m 2 3 3 3 sin 4 IL 4 IL ( ) 4 IL ( ) 4 IL r r y i x j i r y j r x r k z k y j x B A i = - + = ú û ù ê ë é - - + - = ´ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = Ñ ´ = Z X z R L L r Y 线元大小为 dz P(x,y,0) 图 10.2 长直导线电流的磁场 [ln( ) ln ] 2 ] ( ) [ln 4 [ln( ) ln( )] 4 4 4 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 R L L R I k R I R L L k R L L R L L I k k R z I dz k r I dz A Ak L L L L z = + + - + + = = + + - + - + = = = ò ò - - p m p m p m p m p m a p m a R I R A B A z 2 0 = ¶ ¶ = Ñ´ = - 该变换利用了如下的不定积分 ò = + + + ln( 1 ) 1 2 2 x x x dx 柱坐标的旋度公式 [ ( ) ] 1 ) ( ) 1 ( a a a a a ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ´ = z r z Ar rA r r k r A z A z A A r F r