第二讲:向量分析与场论(I 四、标量场的梯度 3、标量函数场的梯度公式:若某一标量场的函数关系已经确定,为V=Tx2y,z), 那么如何确定标量场在域中任意点的梯度?(假设该点坐标为P(x,y,z)) 在P(x,y,z)点附近任意点P(xy,)的标量场为v(xy,z),则两点标量场值差 可由泰勒展开为: △′=(x2y32)-(x,y,z) oV(xv2 av(x,y, 2) (y-y) av(x, y, ay a △=K(x,y,=)-(x,y,z) av(x,y,2 av(x, y, △v+ W(x,y2)△ a(x,y,-):,O(xy,z),O|(x,y) k)·(△x+y+△k) av(x,y, 2),=ov(x,y, 2),ov(x,y, 2) 为简明起见,令△x=x-x、△y=y-y、△z=z-z则上式又可以写为 这里,M=△xi+△yj+△zk为P(x,y,z)与P(x,y,z两点之间的位移,定义 个向量算子“V V (2.2 以算子‘V对标量场Ⅴ(x,y,a)的作用结果为一向量,该向量也是空间的函数
第二讲：向量分析与场论（II） 四、标量场的梯度 3、标量函数场的梯度公式：若某一标量场的函数关系已经确定，为 V=T(x,y,z)， 那么如何确定标量场在域中任意点的梯度？（假设该点坐标为 P(x, y,z)） 在 P(x, y,z)点附近任意点 P(x’,y’,z’)的标量场为 V(x’,y’,z’)，则两点标量场值差 可由泰勒展开为： ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z z V x y z y y y V x y z x x x V x y z V V x y z V x y z ¢- ¶ ¶ ¢- + ¶ ¶ ¢- + ¶ ¶ = D = ¢ ¢ ¢ - ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) l z V x y z k y V x y z j x V x y z i k xi yj zk z V x y z j y V x y z i x V x y z z z V x y z y y V x y z x x V x y z V V x y z V x y z × D ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = × D +D +D ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = D ¶ ¶ D + ¶ ¶ D + ¶ ¶ = D = ¢ ¢ ¢ - (2.1) 为简明起见，令Dx = x’- x 、Dy = y’- y、Dz= z’- z 则上式又可以写为 这里，Dl = Dx i +Dy j +Dz k 为 P(x’, y’ , z’)与 P(x, y, z)两点之间的位移，定义一 个向量算子‘Ñ ’ z k y j x i ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ= (2.2) 以算子‘Ñ’对标量场 V(x, y, z)的作用结果为一向量，该向量也是空间的函数
V(x,y2-) aV(x v2) av(x,y j- a(x,y,-) ax 对于空间给定的点来说,只要标量函数关系确定,那么该向量是确定的。标量 场V(x,y,z在两点P(x,y,z)与P(x,y,z)之间的变化量为 △V=VV(xy,z)·△ 上式表示标量场在空间附近两点之间的变化等于以(2.3)所表示的向量与空 间这两点之间位移M的点积 以△l、7分别表示微量位移向量△的大小和单位向量,将标量场的变化小 量与微量位移大小相除 △(x,y,z) v(x,y, =)/ △l (2.5) 上式表示空间标量场Vxyz沿某一方向对空间距离的变化率等于向量V V(x2y,z)与该方向的单位向量的点积。那么这里就有一个问题: 问题:由空间一点可以向外引无数个方向。那么标量场在空间一点的变化率在 哪个方向上变化最大? 为回答上述问题,我们考察(25)式,只有当移动微小位移的方向与标量场 的算子向量vv(xy)致时,两个向量的夹角为0,变化率达到最大值,可见 VV(,y,z)就是我们上述所定义的标量场v(x,z)在P(x,y,)处的梯度。 函数场梯度的定义:在标量场中,空间某点P(xyz)处的梯度为算子〈V’对 标量场作用的结果,即式(22)即为梯度向量的定义式
1 k z V x y z j y V x y z i x V x y z V x y z ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ = ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) (2.3) 对于空间给定的点来说，只要标量函数关系确定，那么该向量是确定的。标量 场 V(x, y, z)在两点 P(x’, y’, z’)与 P(x, y, z)之间的变化量为 l DV = ÑV(x,y, z)×D (2.4) 上式表示标量场在空间附近两点之间的变化等于以（2.3）所表示的向量与空 间这两点之间位移Dl 的点积。 以 l l D 、 分别表示微量位移向量 l D 的大小和单位向量，将标量场的变化小 量与微量位移大小相除 V x y z l l V x y z =Ñ × D D ( , , ) ( , , ) （2.5） 上式表示空间标量场 V(x,y,z)沿某一方向对空间距离的变化率等于向量Ñ V(x,y,z)与该方向的单位向量的点积。那么这里就有一个问题： 问题：由空间一点可以向外引无数个方向。那么标量场在空间一点的变化率在 哪个方向上变化最大？ 为回答上述问题，我们考察（2.5）式，只有当移动微小位移的方向与标量场 的算子向量Ñ V(x,y,z)一致时，两个向量的夹角为 0，变化率达到最大值，可见 ÑV(x,y,z) 就是我们上述所定义的标量场 V(x,y,z)在 P(x,y,z)处的梯度。 函数场梯度的定义：在标量场中，空间某点 P(x,y,z)处的梯度为算子‘Ñ ’对 标量场作用的结果，即式（2.2）即为梯度向量的定义式
例21、已知点电荷q在空间所产生的电场在q为r处电位大小为:%)=n, 求:1)以q所在的位置为坐标原点建立直角坐标系,表达出电位场的空间函 数关系,进一步计算出空间任意点的电位场梯度;2)若q所在的位置不是坐 标原点,q在空间的直角坐标为P(xyz),重复1)的步骤。 解:1)由于q处于坐标原点,空间任意一点P(x2yz)到q点的距离即为该点的 矢径大小r=x2+y2+z,电位为Q2√x2+y2+ 0;0q O三 电位的梯度表达为 a ay a476 x2+22+2 +y+ 4 tEO 4 y+2 2)由于q处于点P(xyz),空间任意一点P(xy,z)到q点的距离大小为 y=(x-x2+0y-y2+(a-22 Vo=(i+j+k) (-xy2(y-y2+(=-x1)2(2.6) q(x-x)+0y-y+(2-2从 gr-r 0[(x-xy2+(y-y2+(2-)22 P(x',y,z”) P(x,, z) P(x,, z) 图2-1电荷处于坐标原点 电荷处于空间(x"y,z)
2 例 2-1、已知点电荷 q在空间所产生的电场在 q为 r处电位大小为: r q 1 4 (r) pe0 j = ， 求：1）以 q 所在的位置为坐标原点建立直角坐标系，表达出电位场的空间函 数关系，进一步计算出空间任意点的电位场梯度；2）若 q 所在的位置不是坐 标原点，q 在空间的直角坐标为 P(x¢,y¢,z¢), 重复 1）的步骤。 解：1）由于 q 处于坐标原点，空间任意一点 P(x,y,z)到 q 点的距离即为该点的 矢径大小 2 2 2 r = x +y +z ,电位为 电位的梯度表达为 2）由于 q 处于点 P¢ (x¢,y¢,z¢)，空间任意一点 P(x,y,z)到 q 点的距离大小为 2 2 2 r = (x- x ¢) +(y- y ¢) +(z-z ¢) （2.6） 2 2 2 0 1 4πε x y z q + + j = r πε r q r r πε q (x y z ) xi yj zk πε q πε x y z q k) z j y i x ( 2 0 3 2 0 3 0 2 2 2 2 2 2 0 1 4 4 4 1 4 =- = - + + + + =- ¶ + + ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñj = 3 2 0 3 0 2 2 2 2 2 2 0 4 - - - - - - 4 - - - 1 4 ( r r r r πε q [(x x) (y y) (z z) ] (x x)i (y y)j (z z)k πε q πε (x x) (y y) (z z) q k) z j y i x - ¢ - ¢ =- ¢ + ¢ + ¢ ¢ + ¢ + ¢ =- ¶ ¢ + ¢ + ¢ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ = j q P(x’,y’,z’) r¢ r r- r¢ r P(x,y,z) • • q P(x,y,z) 图 2-1 电荷处于坐标原点 电荷处于空间（x¢,y¢,z¢）
评注:1)什么是等位面方程?曲面方程可以利用上述的标量场进行说明。对 于标量场=(x,y;),把空间那些具有相同场值的点连起来构成的面称为等位 面,假设等位面值为0,则有等位面方程: P (x,y, z) 在例2-1中所对应的标量电位场对应的等位面是球面状 2)从数学的角度如何理解标量场的梯度与标量场等位面的关系? 标量场φ(x,y,x)分布看做是q=C.C2、m一族等位面构成,那么E的方向就 代表着电位面下降最快的方向。推导过程如下: 在等位面上,任取一点P(x,y,),在其附近任取一点做微量位移为M,由于P 点与其附近的这一点同在一个等位面上,标量场数值相同,差值为零,由(24) =V(x,y,-)△=0 由于是在等位面任取的任意有向线段,故上式说明电位场的梯度垂直于电位等 位面,由于负号的关系,电场强度是指向电位下降最快的方向 3):标量场对空间某方向上的空间距离变化率,在一些教科书上通常写为更为 简明的形式,例如,电位场沿某一方向n的变化率通常表述为:aq/an,对 (25)式标量场的变化关系 0pLim△q q·n E n△l->0△l n(2.7a) 上式中En表示电场强度沿n方向的分量 对比(24)式,空间附近两点(例如P点和P点附近点)之间的电位差与这 两点之间的微小位移以及点电场强度之间具有以下关系 Vo.7=-E.1→△=-E·△ (2.7b) E·dl
3 评注：1）什么是等位面方程？曲面方程可以利用上述的标量场进行说明。对 于标量场j =j (x,y,z)，把空间那些具有相同场值的点连起来构成的面称为等位 面，假设等位面值为 C1，则有等位面方程： 1 j(x,y,z) = C 在例 2-1 中所对应的标量电位场对应的等位面是球面状。 2）从数学的角度如何理解标量场的梯度与标量场等位面的关系？ 标量场j (x,y,x)分布看做是j = C1、C2 、……一族等位面构成，那么 E 的方向就 代表着电位面下降最快的方向。推导过程如下： 在等位面上，任取一点 P(x,y,z)，在其附近任取一点做微量位移为Dl，由于 P 点与其附近的这一点同在一个等位面上，标量场数值相同，差值为零，由（2.4） D = Ñ (x,y,z)×Dl = 0 j j 由于是在等位面任取的任意有向线段，故上式说明电位场的梯度垂直于电位等 位面，由于负号的关系，电场强度是指向电位下降最快的方向。 3）：标量场对空间某方向上的空间距离变化率，在一些教科书上通常写为更为 简明的形式，例如，电位场沿某一方向 n 0的变化率,通常表述为：¶ j ¤ ¶n ,对 （2.5）式标量场的变化关系 n E n n l L i m n l E 0 = Ñ × = - × = D D = ¶ ¶ D ® j j j (2.7a) 上式中 E n 表示电场强度沿 n 方向的分量 对比（2.4）式，空间附近两点（例如 P 点和 P 点附近点）之间的电位差与这 两点之间的微小位移以及点电场强度之间具有以下关系 d E dl l E l E l l Þ = - × = Ñ × = - × Þ D = - ×D D D j j j j (2.7b)
例22、求:柱坐标下的梯度算子的表达式,在此基础上,在已知例21中的 标量电位场梯度。 Z轴 解:直角坐标系下的梯度算子为 P(x,y, 2) 如图所示,直角坐标与柱坐标的换算 关系为: Y轴 x= rcos e y=rsin e X轴 图2.2柱坐标系统 个标量场是空间点的函数,这意味着它既可以写成V=V(x,y,z)也可以写成 V=V(r,,z),在这里有 (x,y)=√x 2 0=8(x, y)=arcto y 2 利用高等数学中关于隐函数的知识,梯度算子对标量函数的作用可以写成 iV(r,日,z)= aV(r, 0, z)Or av(r, 0,2)00 00 jV(r,日,z)=j av(r, 0, z)Or ov(r, 0, 3)00 00a 利用上述(r,O)与(x,y)的关系,求出(r,0)对(x,y)的偏导:
4 例 2-2、求：柱坐标下的梯度算子的表达式，在此基础上，在已知例 2-1 中的 标量电位场梯度。 解：直角坐标系下的梯度算子为 z k y j x i ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ= 如图所示，直角坐标与柱坐标的换算 关系为： 一个标量场是空间点的函数，这意味着它既可以写成 V=V(x,y,z)也可以写成 V= V(r,θ,z)，在这里有 利用高等数学中关于隐函数的知识，梯度算子对标量函数的作用可以写成 ] ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ ] ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ y V r z y r r V r z V r z j y j x V r z x r r V r z V r z i x i ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ q q q q q q q q q q 利用上述(r,θ)与(x, y)的关系， 求出(r,θ)对(x, y)的偏导： ï î ï í ì = = = z z y r x r q q sin cos ï ï î ï ï í ì = = = = = + z z x y x y arctg r r x y x y ( , ) ( , ) 2 2 q q · y q z r x X 轴 Y 轴 Z 轴 P(x,y,z) 图 2.2 柱坐标系统