第一讲:向量分析与场怆() 《向量分析与场论基础》就是关于场的数学刻画、描述以及场特征的一般分析。 物理量的分类 1、标量:只有大小,没有方向的物理量。例如温度、能量等 1、物理量 2、向量:有大小又有方向的物理量。例如速度、力等。 3、张量:有大小又有多种复杂方向取向的物理量。例如张力 2、什么是场?:具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如 考虑某一空间的温度时,若空间任意点温度T和该点坐标p(x,y,z)具有函数 关系:T=T(x,y,z),这就构成了一种标量场,这个标量场为温度场;若在 某一空间存在流水,当考虑空间处处的流速时,若空间任意点流速V和该点坐 标P(x,y,z)具有函数关系: V=V(x,y, z=V(x,y,z)i+V,(x,y, z)j+V,(x,y, zk 其中Vx(x,y,z)、Vy(x,y,z)以及Vz(x,y,z)分别为向量V(x,y,z)在x轴、y 轴以及z轴的分量,i、j以及k分别为x轴、y轴以及z轴三个方向的单 位向量(通常又称为方向向量),流速V构成了一种向量场(或称为场向量), 这个向量场为流速场。 本概要只考虑标量场与向量场,张量场不做讨论;本概要的出发点是为后续《电磁 场》课程教学服务,侧重阐述基本概念和基本规律,故不追求数学上的严格性
1、标量：只有大小，没有方向的物理量。例如温度、能量等 2、向量：有大小又有方向的物理量。例如速度、力等。 3、张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量。例如张力 第一讲：向量分析与场论（I） 《向量分析与场论基础》就是关于场的数学刻画、描述以及场特征的一般分析。 一、 物理量的分类 1、物理量 2、什么是场？：具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如： 考虑某一空间的温度时，若空间任意点温度 T 和该点坐标 p(x,y,z)具有函数 关系：T=T( x, y, z )，这就构成了一种标量场，这个标量场为温度场；若在 某一空间存在流水，当考虑空间处处的流速时，若空间任意点流速 V 和该点坐 标 P(x,y,z)具有函数关系： V V i j k (x, y, z) V (x, y, z) V (x, y, z) V (x, y, z) = = x + y + z 其中 Vx(x,y,z)、Vy(x,y,z)以及 Vz(x,y,z)分别为向量 V(x,y,z)在 x 轴、y 轴以及 z 轴的分量， i 、 j 以及 k 分别为 x 轴、y 轴以及 z 轴三个方向的单 位向量（通常又称为方向向量）,流速 V 构成了一种向量场（或称为场向量）， 这个向量场为流速场。 本概要只考虑标量场与向量场，张量场不做讨论；本概要的出发点是为后续《电磁 场》课程教学服务，侧重阐述基本概念和基本规律，故不追求数学上的严格性
几个有用的场向量、向量“+”与“-”运算 1、位移向量:确定空间一点位置可以通过原点到该点的一条有向线段来描 述。该位移向量的模为线段的长度,位移向量的方向由原点指向该点,从原点 到空间该点的位移向量又称为该点的矢径,如图一所示。矢径和它的模分别表 示为 r=xi +yi+zk (1.1) =r=√x2+y2+z2(1.2) 对于向量的叠加,满足平行四边形法则 如图2所示 r=XI+yj+z,k r2=x,i+y2j+z,k F=+=(x1+x2)+(y1+y2)+(Z1+z2)(1.3) 对二向量的叠加,在图象上还可以形象地看成三角法则。如图3所示,可 先画出处第一个向量,以这个向量的末点做为第二个向量的起点,画出第二个 向量,则从第一个向量的起点到第二个向量的末点所引的有向线段即为二个向 量r与r2的叠加结果
二、几个有用的场向量、向量“+”与“-”运算 1、 位移向量：确定空间一点位置可以通过原点到该点的一条有向线段来描 述。该位移向量的模为线段的长度，位移向量的方向由原点指向该点，从原点 到空间该点的位移向量又称为该点的矢径，如图一所示。矢径和它的模分别表 示为： r i j k = x + y + z （1.1） 2 2 2 r = r = x + y + z （1.2） 对于向量的叠加，满足平行四边形法则 如图 2 所示 r i j k 1 1 1 1 = x + y + z r i j k 2 2 2 2 = x + y + z r r r i j k (x x ) (y y ) (z z ) = 1 + 2 = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 （1.3） 对二向量的叠加，在图象上还可以形象地看成三角法则。如图 3 所示，可 先画出处第一个向量，以这个向量的末点做为第二个向量的起点，画出第二个 向量，则从第一个向量的起点到第二个向量的末点所引的有向线段即为二个向 量 r1与 r2的叠加结果。 X Y x y r O z Z Z 轴 图 1、矢径的图形表示 r1 r2 Y 轴 x y r O z X 轴 图 2、向量叠加的平行四边形法则
问题:判断下述对不对?二个向量进行叠加,合成所得合向量的模一定大 于这两个向量模中的任意一个模 同理,向量‘-’运算为“+’运算的逆运算,例如空间两个点P1(x,y1,z) 与P2(x2,y2,z2)之间的位移向量为从点1到点2所引的一条有向线段,大小与 方向如图4所示,定量计算该两点之间的位移向量时,由三角形法则,可以确 定为两矢径r2与r1之差 2=12-=(X2-X1+(y2-y1)j+(z2-21)k(1.4) 2=V(x2-x)2+(y2y1)2+(z2-2z)
问题：判断下述对不对？二个向量进行叠加，合成所得合向量的模一定大 于这两个向量模中的任意一个模。 同理，向量 ‘-’运算为‘+’运算的逆运算，例如空间两个点 P1(x1,y1,z1) 与 P2(x2,y2,z2)之间的位移向量为从点 1 到点 2 所引的一条有向线段，大小与 方向如图 4 所示，定量计算该两点之间的位移向量时，由三角形法则，可以确 定为两矢径 r2 与 r1之差 r r r i j k (x x ) (y y ) (z z ) 12 = 2 - 1 = 2 - 1 + 2 - 1 + 2 - 1 （1.4） 2 2 1 2 2 1 2 12 2 1 r = (x - x ) + (y - y ) + (z - z ) X r1 r12 Y x y r2 O z Z 图 4、向量”-”的三角形表示 该向量为 r2与 r1之差，也即 r1加上该向量等于 r2 X r1 r2 Y x y r O z Z 图 3、向量”+”的三角形表示 r1与 r2之合，记为 r
例1-1、空间x轴上取任意两点P与P2,其 距离为d,由这两点向空间任意点p点引出两 个位移向量分别为n与r,求n与r的向量 差 解法1:根据三角形合成法则,由图5容易看 出,P1到P2所引向量为di,P2到P点所引向量 r2,P1到P点所引向量r,根据以上所述, +di 7i-12 解法2:设空间任意点p点坐标为(x、y、z)、P1点、P2点坐标坐标为分别为 (x1、0、0)、(x2、0、0),由题设条件则有 由(1.4)式:斤=(x-x1)+(y-0)j+(二-0)k 2=(x-x2)i+(y-0)j+(z-0)k (x-x1)-(x-x2)+(y-y)+(=-2)k (x,xi=di
例 1-1、空间 x 轴上取任意两点 P1与 P2，其 距离为 d，由这两点向空间任意点 p 点引出两 个位移向量分别为 r1与 r2，求 r1与 r2的向量 差。 解法 1：根据三角形合成法则，由图 5 容易看 出，P1到 P2所引向量为 di,P2到 P 点所引向量 r2 , P1到 P 点所引向量 r1 ，根据以上所述， => r r di 1 = 2 + r r di 1 - 2 = 解法 2：设空间任意点 p 点坐标为（x、y、z）、P1点、P2点坐标坐标为分别为 （x1、0、0）、（x2、0、0），由题设条件则有 x2 - x1=d 由（1.4）式： r x x i y j z k ( ) ( 0) ( 0) 1 = - 1 + - + - r x x i y j z k ( ) ( 0) ( 0) 2 = - 2 + - + - => P1 X-axis P P2 · r1 r2 · · 该常向量为 r1与 r2之差 图 5、向量差实例 x x i di r r x x x x i y y j z z k = - = = - - - + - + - ( ) - [( ) ( )] ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2
2、单位向量:空间任一向量与该向量的模之比,称为该向量的单位向量。 单位向量的含义在于:单位向量的模为1,方向与该向量的指向一致。例如: 位移向量的单位向量为: rr xi +yj+zk (x2+y2+2) 由单位向量的概念,矢径向量又可表示为: 上述的i、j、k就是沿X、Y、Z轴的单位向量。 根据单位向量的定义,任意向量都可以写成它的单位向量与该向量模的积 F(x,y,=)=F(x,y,z)F(x,y,z)(1.5) 问题:单位向量是否为常向量?
2、 单位向量：空间任一向量与该向量的模之比，称为该向量的单位向量。 单位向量的含义在于：单位向量的模为 1，方向与该向量的指向一致。例如： 位移向量的单位向量为： 由单位向量的概念，矢径向量又可表示为： 上述的 i、j、k 就是沿 X、Y、Z 轴的单位向量。 根据单位向量的定义，任意向量都可以写成它的单位向量与该向量模的积 (1.5) 问题：单位向量是否为常向量？ 2 1 2 2 2 (x y z ) xi yj zk r r r r r + + + + = = = r rr = F(x, y,z) F(x, y,z)F(x, y,z) =