第三讲、静电场(Ⅰ) §1.电场强度§1.2电位§1.3导体和电介质§1.4高斯通量定理 电场强度 1、库仑定律:真空中点电荷之间存在一种特殊的力的作用,称为库 仑力,若有两个点电荷,电量分别为q1、q2,距离为r,力与距离平方 成反比,与电量之积成正比 q192 tEO r (3.1) 6036x×109(F/m) ①力的坐标系下向量表示,q受到的q的 92 力的作用 1q142 F=49万-F 4E。一 (3.2a) 图31 ②同样,q受到的q的力的作用 9192a 71-72 4 4: (3.2b) ③、多电荷系统中(具有n个电荷),某电荷q受力为其他电荷对它 的作用力,须逐个求“合 F qm,gk m-lk k=1.k≠m 4兀m-列(33) 注意:1)电场力方向qq2>0,同号相斥,q1q2<0,异号相吸 2)个电荷无限靠近,力无限大,如何理解?规律皆有线度,点 电荷本身就是一种数学抽象;电磁规律是宏观规律,电磁规律 又称为宏观电磁规律 3)库仑力是如何作用(传递)的?
第三讲、静电场（Ⅰ） §1.1 电场强度§1.2 电位§1.3 导体和电介质§1.4 高斯通量定理 一、 电场强度 1、库仑定律：真空中点电荷之间存在一种特殊的力的作用，称为库 仑力，若有两个点电荷，电量分别为 q1、q2，距离为 r，力与距离平方 成反比，与电量之积成正比 2 1 2 4 0 1 r q q F pe = （3.1） 0 e = 9 10 36 1 - ´ p （F/m） ① 力的坐标系下向量表示, q1受到的 q2的 力的作用 2 1 2 1 0 1 2 2 1 2 0 21 4 4 1 r r q q r r r r q q F - - = = pe pe （3.2a） ② 同样，q2受到的 q1的力的作用 1 2 1 2 0 1 2 2 1 2 0 21 12 4 4 1 r r q q r r r r q q F F - - = - = = pe pe （3.2b） ③、多电荷系统中（具有 n 个电荷），某电荷 qm受力为其他电荷对它 的作用力，须逐个求‘合’ å= ¹ - - = = n k k m m k m k m k m r r q q r r F 1, 0 4 pe （3.3） 注意：1）电场力方向 q1q2>0,同号相斥，q1q2<0,异号相吸。 2）个电荷无限靠近，力无限大，如何理解？规律皆有线度，点 电荷本身就是一种数学抽象；电磁规律是宏观规律，电磁规律 又称为宏观电磁规律。 3）库仑力是如何作用（传递）的？ 2 r 0 1 r 2 1 r r - q1 q2 图 3.1
2、电场概念的引入:思维方式分为逻辑思维和形象思维,科学是一 种逻辑思维,力的传递无外乎直接与间接,既然电荷之间是空间,由 此可以推断电荷周围一定存在一种特殊的媒介物质,起到传递电场力 的作用。这种特殊物质称为电场。 米----米 1 92 图32电荷激发电场 注意:引入电场之后,电荷间的作用力称作为电场力。 问题?以上给出了电场的概念,电场是一种抽象物质,如何描述? 3、电场描述物理量之一:电场强度。电场是描述电场力的属性的物 理量,在电场中某处,电场强度的大小数值上等于将微量检验点电荷 置于该处时检验电荷所受电场力与它的电量之比。电场强度的方向沿 着检验电荷受力的方向。 F X,V2 E(x,y,=) (3.4) 注意:1)电场强度是描述电场的物理量,与检验电荷的大小、存在 与否无关。 2)电场强度能够描述电场的能的属性,因为F=E 3)注意体会提法含义:“电荷受到的电场力”及“电场中某处的电场 强度” 问题:点电荷在空间产生的电场强度如何计算?
2、电场概念的引入：思维方式分为逻辑思维和形象思维，科学是一 种逻辑思维，力的传递无外乎直接与间接，既然电荷之间是空间，由 此可以推断电荷周围一定存在一种特殊的媒介物质，起到传递电场力 的作用。这种特殊物质称为电场。 注意：引入电场之后，电荷间的作用力称作为电场力。 问题？以上给出了电场的概念，电场是一种抽象物质，如何描述？ 3、电场描述物理量之一：电场强度。电场是描述电场力的属性的物 理量，在电场中某处，电场强度的大小数值上等于将微量检验点电荷 置于该处时检验电荷所受电场力与它的电量之比。电场强度的方向沿 着检验电荷受力的方向。 t q F x y z E x y z ( , , ) ( , , ) = （3.4） 注意：1）电场强度是描述电场的物理量，与检验电荷的大小、存在 与否无关。 2）电场强度能够描述电场的能的属性，因为 F qE = 3）注意体会提法含义：“电荷受到的电场力”及“电场中某处的电场 强度” 问题：点电荷在空间产生的电场强度如何计算？ q q2 1 图 3.2 电荷激发电场
①如图3.3所示,点电荷q在空间任意点产生的 电场强度为 I gq, F 4E r2 E(x,y, 2) 4: (3.5a) P(x,, Z) 如图3.4在坐标系下,还可以写成 图33 E(x,y,z)(或写成E(F) 4 8 (3.5b) P( X。VZ 由叠加原理,n个点电荷在空间位置为r1、r2…rn 在空间r处所产生的‘合’场强为 图3 E(x,y,)=∑ C 问题:连续分布电荷系统在空间在空间产生的电场强度如何表达? 思路是将空间连续分布电荷体进行空间剖分,剖分成空间元,元内的 电荷为d,只要空间元非常小,可以近视认为集中于一点上,这样将 连续分布情况转化为点电荷分布情况,设空间元的电荷分布分别为 体、面、线分布,则 该向量为r 、pdh空间电荷分布为体分布时 ods空间电荷分布为面分布时 dl空间电荷分布为线分布时 利用(3.5c) lim E(x,y)=∑ 图34b连续分布的离散化 (3.5d) d
① 如图 3.3 所示，点电荷 q 在空间任意点产生的 电场强度为 3 0 2 0 2 0 4 4 4 1 1 ( , , ) r q r r r q q r r qq q F E x y z t t t qt pe pe pe = = = = （3.5a） 如图 3.4 在坐标系下，还可以写成 3 0 4 ( , , )( ( )) r r q r r E x y z E r - ¢ - ¢ = pe 或写成 （3.5b） 由叠加原理， n 个点电荷在空间位置为 r1 、r2…rn 在空间 r 处所产生的‘合’场强为 å= - - = n k k k k r r q r r E x y z 1 3 0 4 ( , , ) pe （3.5c） 问题：连续分布电荷系统在空间在空间产生的电场强度如何表达？ 思路是将空间连续分布电荷体进行空间剖分，剖分成空间元，元内的 电荷为 dq，只要空间元非常小，可以近视认为集中于一点上，这样将 连续分布情况转化为点电荷分布情况，设空间元的电荷分布分别为 体、面、线分布，则 ï î ï í ì ¢ = ¢ 空间电荷分布为线分布 时 空间电荷分布为面分布 时 空间电荷分布为体分布 时 dl ds dv dq t s r ' 利用（3.5c） 3 0 3 0 1 3 0 0 ' 4 1 4 4 lim ( , , ) r r r r dl ds dv r r dq r r r r dq r r E x y z n k k k dq - ¢ - ¢ × ï î ï í ì ¢ = ¢ - ¢ - ¢ = - ¢ - ¢ = ò å ® = t s r pe pe pe （3.5d） P(x,y,z) r 0 r ¢ r -r¢ q 图 3.4a P(x,y,z) r q 图 3.3 O r¢ r 该向量为 r - r¢ 图 3.4b 连续分布的离散化
②算例:例题3-1、电荷均匀分布于空间一根长直线,线密度为τ, 求空间电场强度分布 解:解题思路,这是一个典型的已知“源’求‘场’的积分问题。一 般情况下,解题分三大步骤 A、根据实际问题,建立坐标系。对本问题,以长直线为Z轴,建立 坐标系;在图中标出相关量,形成解题草图,以便于思维,如图3.5 所示 B、在坐标系下表达出元分布所产生的ag=cd 电场强度 P(x,, Z) de= d l r-r 4 0 0 C、统一变量,代入积分上下限,X 定量得出结果 E(x,y,=) td’(x-x)+(y-y)j+(x-20)k 0(x-x)2+(y-y)2+(z-图3建立求解坐标系 y [x2+y2+(z-2)2]2 T xI 4 tSo x t y [x2+y2+(x-2)2]2 (3.6) 不定积分数学知识 2TEo x+y 2Ieo a 2TEo c x+ a 注意:1)积分是对源点坐标积分, 场点坐标当作常量;2)作业或考试时,教科书上一些计算结果,一 般不做特殊说明,可以当作公式使用
Z dq=tdl z¢ dz¢ r P(x,y,z) Y x y z 图 3.5 建立求解坐标系 X a ② 算例:例题 3-1、电荷均匀分布于空间一根长直线， 线密度为τ， 求空间电场强度分布 解：解题思路，这是一个典型的已知‘源’求‘场’的积分问题。一 般情况下，解题分三大步骤 A、根据实际问题，建立坐标系。对本问题，以长直线为 Z 轴，建立 坐标系；在图中标出相关量，形成解题草图，以便于思维，如图 3.5 所示 B、在坐标系下表达出元分布所产生的 电场强度 3 0 3 0 4 4 r r dl r r r r dq r r dE - ¢ - ¢ = - ¢ - ¢ = pe t pe C、统一变量，代入积分上下限， 定量得出结果 ò +¥ -¥ - ¢ + - ¢ + - ¢ ¢ - ¢ + - ¢ + - ¢ = 2 3 0 2 2 2 [( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) 4 ( , , ) x x y y z z dz x x i y y j z z k E x y z pe t a a a a x y xi yj x y z z z z x y xi yj dz x y z z xi yj 0 2 0 2 2 0 2 1 2 2 2 2 2 0 2 3 0 2 2 2 2 2 2 [ ( ) ] 4 [ ( ) ] 4 pe t pe t pe t pe t pe t = = + + = - ¥ + ¥ + + - ¢ ¢ - + + = ¢ + + - ¢ + = ò +¥ -¥ （3.6） 注意：1）积分是对源点坐标积分， 场点坐标当作常量；2）作业或考试时，教科书上一些计算结果，一 般不做特殊说明，可以当作公式使用。 不定积分数学知识 2 1 2 2 2 2 3 2 2 ( ) 1 ( ) x a x a x a dx + = + ò
例题3-2(课本习题1-6)真空中有一半径为R的无限长中空半圆柱 面,均匀地带有面电荷密度为σ的电荷。求(1)半轴线上的电场强 度。(2)应用(1)的结果,求体密度为p的带电半圆柱轴线上的电 场强度。 解:1)解题分析,对于无限长中空半圆柱面,可以看做由许多线条 构成,若线条无穷细,就可以看做一条条线,对于单根线在空间产生 的场强已经由上例(3.6)式给出;无数条线的叠加即组烈业面的 场强 线条对应的狐角dO 图3.6面积分的线积分处理 根据以上解题思路,要利用(3.6)式解题,求解的关键在于找出电 荷分布的线密度。在θ处,先假设线条的长度为1所对应的线条对应 的面积为dS=1Rde,那么该线条所对应的线密度为 r=如_alR0 -o Rde dE=dE- goRdO 2 sin e 2丌E0R ode SInea →E=Ei (3.7) e=dE 2)、半圆柱体分布情形,可以看成是由一层层薄面构成,单层面的结 果如上,则求解的关键在于找出薄面的面密度 r"./Podr =dE= podr 、P.ldr 1 E-rRPodr 1(3.8) 问题:一般意义下,线密度与面密度以及面密度与体密度的关系如 何?意义何在?
例题 3-2（课本习题 1-6）真空中有一半径为 R 的无限长中空半圆柱 面，均匀地带有面电荷密度为s0 的电荷。求（1）半轴线上的电场强 度。（2）应用（1）的结果，求体密度为r0 的带电半圆柱轴线上的电 场强度。 解：1) 解题分析，对于无限长中空半圆柱面，可以看做由许多线条 构成，若线条无穷细，就可以看做一条条线，对于单根线在空间产生 的场强已经由上例（3.6）式给出；无数条线的叠加即得到半柱面的 场强 根据以上解题思路，要利用（3.6）式解题，求解的关键在于找出电 荷分布的线密度。在q处，先假设线条的长度为 l 所对应的线条对应 的面积为 dS=lRdq，那么该线条所对应的线密度为 E Ei i d E dE R Rd Rd dE dE l lRd l dq y 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 sin 2sin 2 pe s pe s q p s q q pe s q s q s q t p Þ = = = Þ = = = = = Þ = = ò ò （3.7） 2)、半圆柱体分布情形，可以看成是由一层层薄面构成，单层面的结 果如上，则求解的关键在于找出薄面的面密度 i R i dr E dr dr dE r l r l dr R 0 0 0 0 0 0 0 0 0 pe r pe r pe r r p r p s ò = Þ = Þ = = × × × = （3.8） 问题：一般意义下，线密度与面密度以及面密度与体密度的关系如 何？意义何在？ q q 图 3.6 面积分的线积分处理 线条对应的狐角 dq X