第四讲、静电场(Ⅱ §1.4高斯通量定理(下)§1.5静电场的基本方程边界条件§1.6泊札 与程和拉普拉斯方程 口、高斯通量定理(下) 高斯通量定理的应用 题4-1,试计算电荷面密度为G的无限大平面产生的电场强度,1)利月 高斯定律。2)直接计算 浑:1)、解题分析,在板的两侧电场方,向一定向外,如图4.1所示,且 大小相同 闭合面法向 闭合积分面,上下面为S 图4.1、无限大平面的电场 fE. ds=f G Eds +l oE. dS+s oE. ds=q 则面法向方向与电场方向垂直,故侧面通量积分为零 EaE·aS+ S上 s下c02 S →E0ES+E0ES=σS→E (4.1a)
第四讲、静电场（Ⅱ） §1.4 高斯通量定理（下）§1.5 静电场的基本方程·边界条件§1.6 泊松 方程和拉普拉斯方程 四、 高斯通量定理（下） 2、高斯通量定理的应用 例题 4-1，试计算电荷面密度为s的无限大平面产生的电场强度，1）利用 高斯定律。2）直接计算 解：1）、解题分析，在板的两侧电场方，向一定向外，如图 4.1 所示，且 大小相同 E dS E dS E dS E dS q S S S S × = × + × + × = ò ò 上 ò 下 ò 侧 0 0 0 0 e e e e 侧面法向方向与电场方向垂直，故侧面通量积分为零 0 0 0 0 0 2e s e e s e e s Þ + = Þ = Þ × + × = ò ò ES ES S E E dS E dS S S上 S下 （4.1a） 图 4.1、无限大平面的电场 闭合积分面，上下面为 S 闭合面法向
以向上为Z轴,无限大平面为XOY平面,则电场强度可表示为 k,上半平面 2 E 0 只k,下半平面(41b) 2 )如图4.2 Z 轴上任意点坐标(00) 环带元,其中带宽dr 环带元对应 的弧角dax, 弧长rdx 图4.2、平面电场的直接计算 dE2=Ecos0→E=E:=∫dE: odr·rdaz E os e cos e 4兀E。r2+z 4兀E r-+2 2 2 a TE 28 r+2 (r-+z ∠ 2E。2 02 r+z
以向上为 Z 轴，无限大平面为 XOY 平面，则电场强度可表示为 ï ï î ï ï í ì - = 下半平面 上半平面 , 2 , 2 0 0 k k E e s e s （4.1b） 2）如图 4.2 2 0 1 0 2 2 0 2 3 0 2 2 2 3 2 2 2 0 0 0 2 2 0 2 2 0 0 2 1 ( ) 2 3 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) 4 cos 4 cos 1 4 cos e s e s e s a pe s q pe s a q pe q p = ¥ + × - + = × × + = + = + × = + Þ = = Þ = = ò ò ò ò òò ò ¥ ¥ r z z dr r z zr r z zr dr d r z dr rd z r z dq E dEz dE E E z dEz q a X 图 4.2、平面电场的直接计算 Z 轴上任意点坐标（0,0,z） 环带元，其中带宽 dr Z Y 环带元对应 的弧角 da， 弧长 r da a r
列题4-2,半径为R的均匀带电球电荷体密度为p,1)、求场中各处的电与 虽度和电位分布,2)、若在该球中挖去一个半径为R的小球,已知小球白 求心到大球的球心的距离为d,求小球内处处的电场强度。 浑:1)分析,电荷的分布具有球对称性,故对于球内外任意一点的场强 方向一定是该点的径向向外,在同一球面上,场强大小一定相同 带电球 带电球体 内高斯面 外高斯面 图4.3(a)带电球外的电场 (b)带电球内的电场 ≥R{D·dS=εnE·ds R E E R 4 4 JEAl E●d I OR 4πEor 4E0 4e r 38. r r≤R∮D·d5=E·dS=4m26E=q →E E= Er 4πEr 4πEor 38 R dr 元E0F R4TTEor ·(R2-r2)+5 PR I R 3E。R2E 68
例题 4-2，半径为 R 的均匀带电球电荷体密度为r，1）、求场中各处的电场 强度和电位分布，2）、若在该球中挖去一个半径为 R1的小球，已知小球的 球心到大球的球心的距离为 d，求小球内处处的电场强度。 解：1）分析，电荷的分布具有球对称性，故对于球内外任意一点的场强， 其方向一定是该点的径向向外，在同一球面上，场强大小一定相同 r R r q dr r q r dr r q E dl r r R E Er r R r R r q E r R D dS E dS r E q r r r S S 1 3 1 4 4 4 4 3 3 3 4 4 4 0 3 0 2 0 2 0 2 0 3 2 0 3 2 0 3 2 0 0 2 0 e r pe pe pe j e r e r pe r p pe e p e = = = = = = Þ = = × Þ = = ³ = = = ò ò ò ò ò ¥ ¥ ¥ · · · · ) 3 1 ( 2 6 2 1 3 ( ) 2 1 3 4 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3 4 4 4 2 2 0 2 0 2 0 0 3 2 2 0 2 0 3 2 0 3 0 0 0 2 0 3 2 0 0 2 0 R r R r R R R r dr r R dr r r E dl r E Er rr r r r r q E r R D dS E dS r E q R r r R S S = × × - + = - = - × + × = = = Þ = = = × Þ = = £ = = = ò ò ò ò ò ¥ ¥ · · · e r e r e r e r e r pe r p pe r p j e r e r e r pe r p pe e p e r 带电球体 外高斯面 r 带电球 内高斯面 图 4.3（a）带电球外的电场 （b）带电球内的电场
)、分析,球内挖了一个小洞,电荷分布不再对称,故不能直接利用高其 辶律求解。思路:可将空洞用原电荷密度(ρ)填平,如此大球电荷分有 寸称,再反填空洞(-p),如此空洞电荷分布也对称,根据叠加原理,米 丙部分电场叠加所得总电场既为原问题的解 大球心 小球心 → d 图4.4带电球内空洞里的电场 E大球30 →B小球分)O 小球一 刁题:对于电场我们学习了那些基本方程?
2）、分析，球内挖了一个小洞，电荷分布不再对称，故不能直接利用高斯 定律求解。思路：可将空洞用原电荷密度（r）填平，如此大球电荷分布 对称，再反填空洞（-r），如此空洞电荷分布也对称，根据叠加原理，将 两部分电场叠加所得总电场既为原问题的解 E E E r r di E r E r 0 1 2 0 2 0 1 0 3 3 3 3 e r e r e r e r Þ = + = - = ï ï î ï ï í ì - = = 大球 小球 （ ） 小球 大球 问题：对于电场我们学习了那些基本方程？ r2 r1 r1 大球心 小球心 Þ + X d 图 4.4 带电球内空洞里的电场
五、静电场基本方程 争电场基本方程:积分形式、微分形式如下: edl= o V×E=0无旋 pD·ds=pd,V,D=P有源 d= 8E 平注1)积分方程永远成立,面向过程的电荷激发电场方程通过数学方式 积分方程得出;2)微分方程成立的条件是介质连续可导; 刁题:1)求解电磁场问题,人们思维定势是:微分求解方程+边界条件, 寸于分层介质或介质不连续情况,必须分区域处理,在边界利用边界条 先行连接;2)处理边界问题的基础是静电场基本方程的积分方程 、分界面上的边值条件 边值条件 E=0,→E1=E2 (4.2a) PD.ds=g, =EE-8,En=0 (4.26 D、边界条件的推导
五、静电场基本方程 静电场基本方程：积分形式、微分形式如下： D E D d S dV D E d l E s v e r r = × = Ñ × = × = Ñ ´ = ò ò ò 有源 无旋 , 0 , 0 评注 1）积分方程永远成立，面向过程的电荷激发电场方程通过数学方式 由积分方程得出；2）微分方程成立的条件是介质连续可导； 问题：1）求解电磁场问题，人们思维定势是：微分求解方程+边界条件， 对于分层介质或介质不连续情况，必须分区域处理，在边界利用边界条件 进行连接；2）处理边界问题的基础是静电场基本方程的积分方程 六、分界面上的边值条件 1、 边值条件 , (4.2 ) 0, (4.2 ) 1 1 2 2 1 2 D dS q E E b E dl E E a n n s t t × = Þ e - e = s × = Þ = ò ò ①、边界条件的推导