第五讲、静电场(Ⅲ) §1.7静象法§1.6电阻法 镜向法 例5-1真空中置一个点电荷q,大地为导体,求空间任意点处1)电 位分布;2)电场分布;3)大地表面感应电荷分布;4)q受力 解:物理过程分析:导体在外场的作用下达到静电平衡,空间各处电 场与电位是点电荷与感应电荷共同贡献的结果 上半平面任意点P(x,y,z) 图51感应电荷的电场 关键:直接求解的关键在于找出感应电荷面密度。行不通! 思路:间接求解的思路在于“方程+边界” 问题:区域在哪里?边界在哪里?
第五讲、静电场（Ⅲ） §1.7 静象法§1.6 电阻法 一、镜向法 例 5-1 真空中置一个点电荷 q，大地为导体，求空间任意点处 1）电 位分布； 2）电场分布；3）大地表面感应电荷分布；4）q 受力 解：物理过程分析：导体在外场的作用下达到静电平衡，空间各处电 场与电位是点电荷与感应电荷共同贡献的结果 关键：直接求解的关键在于找出感应电荷面密度。行不通！ 思路：间接求解的思路在于“方程+边界” 问题：区域在哪里？边界在哪里？ ● q ● 图 5.1 感应电荷的电场 上半平面任意点 P（x,y,z）
Z R = 图52上半空间边界 Z=0 o=0q点除外 0 根据惟一性定理,等效方法:方程+边界 P(x, y, z) Po(x0y020) q q P'o(xo, yo, -Z 图5.3静象法(等效法)
图 5.2 上半空间边界 R=¥ Z=0 Z Ñ 2 j=0 q 点除外 j|z=0,r=¥=0 根据惟一性定理，等效方法：方程+边界 ● -q ● q 图 5.3 静象法（等效法） P0(x0,y0,z0) ● P(x,y,z) P¢ 0(x0,y0,-z0
1)、建立坐标系,水平向上为Z轴,大地平面为z=0面。设电电荷q 所在点的坐标为P(x,yo,zo),则根据镜向原理,镜向电荷电量为-q, 所在点的位置为(x0,y0,-zo) 如此,上半空间任意点P(x,y,z)的电位为: (xy4(-x)+(y-b)+(=-=)(x-)+(-y)+(=+ 2)、同理,P点的电场强度为: Exy2)=q(x-x)+(y-y)+(2-k(x-x)+(y-+(+ 4Ie x-x)+(y-y)+(-=)[(x-x)+-y)+(+ 3)、计算大地的感应电荷,大地表面的感应电荷面密度: 大地表面的总感应电荷为: 0(x)=Dn=EE1=EEn=园=k= x-x)2+(y-y)2+2 q=o(x, y)dxdy= 2丌 (r2+2)
1）、建立坐标系，水平向上为 Z 轴，大地平面为 Z=0 面。设电电荷 q 所在点的坐标为 P0（x0,y0,z0），则根据镜向原理，镜向电荷电量为-q， 所在点的位置为（x0,y0,-z0） 如此，上半空间任意点 P（x,y,z）的电位为： 2）、同理，P 点的电场强度为： 3）、计算大地的感应电荷，大地表面的感应电荷面密度： 大地表面的总感应电荷为： ï þ ï ý ü ï î ï í ì - + - + + - - + - + - = 2 1 2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 0 2 0 0 [( ) ( ) ( ) ] 1 [( ) ( ) ( ) ] 1 4 ( , , ) x x y y z z x x y y z z q x y z pe j ï þ ï ý ü ï î ï í ì - + - + + - + - + + - - + - + - - + - + - = 2 3 2 0 2 0 2 0 0 0 0 2 3 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 [( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) 4 ( , , ) x x y y z z x x i y y j z z k x x y y z z q x x i y y j z z k E x y z pe ) [( ) ( ) ] 2 ( , ) 2 3 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 x x y y z q z x y D E E n E k n n z - + - + = = = · = = · = p s e e e q r z z rdr q r z q z q x y dxdy = - ¥ + = - + ¢ = = ò ò ¥ 0 ( ) 2 ( ) 2 ( , ) 2 1 2 0 2 0 0 2 3 2 0 2 0 p p s
4)、点电荷q受力为 F=ge=q (x-x)+(y-y)j+(=0+=0 316丌。x2 [(x0-x0)2+(y0-y0)2+(=0+2)2] 问题:大地受到的点电荷q的吸引力为多少?
4）、点电荷 q 受力为 问题：大地受到的点电荷 q 的吸引力为多少？ 2 0 0 2 2 3 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 [( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) 4 z q k x x y y z z q x x i y y j z z k F qE q pe pe = - - + - + + - - + - + + = =
二、电轴法 ①问题的提出:平行双线系统是电力传输的重要途径 空气中平行地放置两根长导线,半径分别为a2=10cm、a=6cm,两轴 线间距为20cm。若导线间加压为1000伏,求:1)空间电位分布;2) 两导线间单位长度的电容;3)空间电场分布;4)导线面密度最大值; 5)两根长导线单位长度的最大值; 解: U=1000v 思考模式:“方程+边界” p(r=3)-q(r=5)=1000
二、电轴法 ①问题的提出：平行双线系统是电力传输的重要途径 空气中平行地放置两根长导线，半径分别为 a2=10cm、a1=6cm，两轴 线间距为 20cm。若导线间加压为 1000 伏，求：1）空间电位分布；2） 两导线间单位长度的电容；3）空间电场分布；4）导线面密度最大值； 5）两根长导线单位长度的最大值； 解： 思考模式： “方程+边界” Ñ 2j=0 j(r=3)- j(r=5)=1000 U=1000v a1 a2 d