2.1线性方程dy+p(x)y=g(x)形如的方程称为一阶线性方dx程，其中未知函数y及其导数都是线性的。少g(x)=0时，为p(x)y=0 ，称为线性齐次方程+g(x)+0时，称为线性非齐次方程
2.1 线性方程 形如 的方程称为一阶线性方 程，其中未知函数y及其导数 都是线性的。 g(x)=0时，为 ，称为线性齐次方程。 g(x)≠0时，称为线性非齐次方程。 ( ) ( ) dy pxy gx dx + = y ′ () 0 dy pxy dx + =
2.1线性方程dyp(x)y= 0线性齐次方程解法十1dxp(x)dx两边同乘e得到 y'e (x)datJ p(x)dx= 0+ yp(x)e即(ye ()aty =0-J p(x)dx[p(x)dx=c，即y=ce所以 ye可按过程求解，也可按结论求解
2.1 线性方程 线性齐次方程解法： 两边同乘 得到 即 所以 ，即 。 () 0 dy pxy dx + = ( ) e p x dx ∫ ( ) 0 ( ) ( ) = ∫ + ∫ ′ p x dx p x dx y e yp x e ( ) ( )0 p x dx ye∫ ′ = p x dx ( ) ye c ∫ = ∫ = − p x dx y ce ( ) 可按过程求解，也可按结论求解
2.1线性方程例l：解方程 ＋=0dy+ylnx =0x例2：求解初值问题dx(y(1) = 1
2.1 线性方程 例1：解方程 例2：求解初值问题 y ′ + y = 0 = + = (1) 1 ln 0 y y x dx dy x
2.1线性方程+p(x)y=g(x)非齐次线性方程的积分因子法dxp(x)dx两边同乘ep(x)dxp(x)db得到 [y' + p(x)yleg(/即 (yel ()at = g(x)el l)dt所以 ye/ p(r)att = c+ J g(x)e/ m)adx通解为 y= ~ )a(c+ g(x)el )adal)
2.1 线性方程 非齐次线性方程的积分因子法： 两边同乘 得到 即 所以 通解为 ( ) ( ) dy pxy gx dx + = ( ) e p x dx ∫ ∫ = ∫ ′ + p x dx p x dx y p x y e g x e ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ∫ ′ = ∫ p x dx p x dx ye g x e ( ) ( ) ( ) ( ) ye c g x e dx p x dx p x dx ∫ ∫ = + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( () ) p x dx p x dx y e c g x e dx −∫ ∫ = + ∫
2.1线性方程非齐次线性方程的常数变易法通解为 =e-[p(n)dtp(x)y= 0Xy=u(x)e-/ p(x)d猜测其解p(x)y=g(x)代入到非齐次方程得 u(x)=c+J g(x)el (m)a dx通解为y=()a(c+g(x) )dx)3种解法：禾积分因子法、常数变易法、结论
2.1 线性方程 非齐次线性方程的常数变易法： 通解为 猜测其解 代入到非齐次方程得 通解为 ( ) ( ) dy pxy gx dx + = () 0 dy pxy dx + = p x dx ( ) y ce−∫ = ( ) ( ) p x dx y uxe−∫ = ( ) () () p x dx u x c g x e dx ∫ = + ∫ ( ) ( ) ( () ) p x dx p x dx y e c g x e dx −∫ ∫ = + ∫ 3种解法：积分因子法、常数变易法、结论