2.1线性方程“大胆猜想，小心求证”是科学研究的基本要求。如果墨守成规，科学就永远不可能进步，每一个科学上的重大突破，都是以惊人的猜想为序曲。但是，科学需要证据，如果没有证据，猜想永远只能是空中楼阁。大胆猜想需要勇气和智慧，小心求证需要耐心和汗水。科学如此，生生活如此，事事如此
2.1 线性方程 科学如此，生活如此，事事如此
2.1线性方程3y'= =y+ 4x? +1例3：求解初值问题x(y(1) = 1dy-+ay=f(x)的2元周期解，其中a是例4：求方程dx正的常数，f(x)是已知的2元周期函数
2.1 线性方程 例3：求解初值问题 例4：求方程 的2π周期解，其中a是 正的常数，f(x)是已知的2π周期函数。 = ′ = + + (1) 1 4 1 3 2 y y x x y ay f (x) dx dy + =
2.1线性方程dyy例5：解方程2x - y2dx方程中两个变量谁是未知函数是可以变化的dy = 4e-' sin x-1例6：求解方程dx常用变量代换的方法将不可求解的方程转化为可求解的方程
2.1 线性方程 例5：解方程 例6：求解方程 2 2x y y dx dy − = 方程中两个变量谁是未 知函数是可以变化的 = 4 sin −1 − e x dx dy y 常用变量代换的方法将不可求 解的方程转化为可求解的方程
2.1线性方程形如 y'+ p(x)y= g(x)yα的方程称为伯努利方程，其中α是常数当α=0或1时，伯努利方程是线性方程当α0或1时的解法两边同除yα得到 -~y'+ p(x)yl-α = g(x)令z(x)=yl-α(x)得到 z' +(1 -α)p(x)z = (1-α)g(x)线性方程
2.1 线性方程 形如 的方程称为伯努利方程，其中α是常数。 当α = 0或1时，伯努利方程是线性方程。 当α≠0或1时的解法 两边同除yα得到 令z(x) = y1-α(x)得到 α y ′ + p(x) y = g(x) y ( ) ( ) 1 y y ′ + p x y = g x −α −α z ′ + (1−α) p(x)z = (1−α)g(x) 线性方程
2.1线性方程注：方程两边同除y~时要求y~≠0，所以当α>0时，在做除法前要假设y≠0。对于y=0，直接验证可知它也是方程的解，要加上
2.1 线性方程 注：方程两边同除yα 时要求yα ≠ 0，所以当α > 0 时，在做除法前要假设y ≠ 0。对于y = 0，直接验 证可知它也是方程的解，要加上