1.2解的存在唯一性定理证明思路：dy= f(x,y), y(xo)= yoy(x) = yo + ["f(s, y(s)dsdxPo(x) = yo2.构造函数序列(x) = yo + [f(s, Po(s)dsP2(x) = yo + ( f(s, 9(s)dsPicard迭代序列,(x) = yo + ( f(s, Pn-1(s)ds
1.2 解的存在唯一性定理 证明思路： 1. 2. 构造函数序列 Picard迭代序列 0 0 f (x, y), y(x ) y dx dy = = ∫ = + x x y x y f s y s ds 0 ( ) ( , ( )) 0
1.2解的存在唯一性定理3. 证明(@,(x))一致收敛到(x)。4. 证明 β(x)是积分方程的解。5.证明积分方程的解唯一
1.2 解的存在唯一性定理 3. 证明 一致收敛到 。 4. 证明 是积分方程的解。 5. 证明积分方程的解唯一。 {ϕn (x)} ϕ(x) ϕ(x)
1.2解的存在唯一性定理★1.在定理1中验证Lipschitz条件成立比较困难因此用较强但容易验证的条件来代替：f(x,y)在R上关于y有连续一阶偏导数。事实上，如果f,(x,y)在R上连续，则f,(x,y)在R上有界，设f,(x,y)≤L 。则由中值定理得到[f(x, y) - f(x, y2)=f,(x, y2 +0(y1 - y2)y1 - y2≤Ly1 - y2
1.2 解的存在唯一性定理 ★1. 在定理1中验证Lipschitz条件成立比较困难， 因此用较强但容易验证的条件来代替：f(x, y)在R 上关于y有连续一阶偏导数。事实上，如果fy(x, y) 在R上连续，则fy(x, y)在R上有界，设 。 则由中值定理得到 f y (x, y) ≤ L 1 2 2 12 12 12 (, ) (, ) ( , ( )) y f xy f xy f xy y y y y Ly y θ − = + − −≤ −
1.2解的存在唯一性定理h★2. 定理1中 h= min(α-)的几何意义。bbM≤M>aaYo+bYo+byoyoYo+bYo+bXo+aXo+aXoXotaXotaXo
1.2 解的存在唯一性定理 ★2. 定理1中 的几何意义。 = M h h min a, a b M ≤ a b M >
1.2解的存在唯一性定理★3.定理1只是在很小的范围内给出了解的存在唯一性，很多时候可以反复使用定理1将解存在唯一的范围延拓到较大的区间
1.2 解的存在唯一性定理 ★3. 定理1只是在很小的范围内给出了解的存在 唯一性，很多时候可以反复使用定理1将解存在 唯一的范围延拓到较大的区间