1.1微分方程的概念与实例设函数y=β(x)在区间I上连续，且有直到n阶的导数，如果把 y=(x)代入方程使得它成为区间I上的恒等式，则称 y=(x)为方程在区间I上的一个解。 + ky =0 在(-8, + o) 上的解,例5: y = e-kx是dx)上的解。生（)y=tanx是y' = 1 + y2 在?
1.1 微分方程的概念与实例 设函数 在区间I上连续，且有直到n阶的 导数，如果把 代入方程使得它成为区间I 上的恒等式，则称 为方程在区间I上的一 个解。 例5：y = e-kx是 在 上的解， y=tanx是 在 上的解。 y = ϕ(x) y = ϕ(x) y = ϕ(x) + ky = 0 dx dy (−∞, + ∞) 2 y ′ = 1+ y ( ,) 2 2 −π π
1.1微分方程的概念与实例如果由F(x,y)=O确定的隐函数y=β(x)是方程的解，则称F(x,y)=0是方程的隐式解例6：隐函数x2+y2-c =0是方程xdx +ydy =0的隐式解
1.1 微分方程的概念与实例 如果由F(x, y) = 0确定的隐函数 是方程的 解，则称F(x, y) = 0是方程的隐式解。 例6：隐函数x2 + y2 – c = 0是方程xdx + ydy = 0的 隐式解。 y = ϕ(x)
1.1微分方程的概念与实例对于函数=(x,Ci,C2，,c,)，其中c1，C2，...，Cn是任意常数，若存在点(x,1,C2，.……,cn)的一个邻域，在其内有a09op10150oc,op±0ocyOC2oc,0（n-1)Op(n-1)dp(n-1)aocOc2ac则称y=の(x,C,C2，,Cn)含有n个相互独立的任意常数c1c2,..，Cn，其中g()_ddrk
1.1 微分方程的概念与实例
1.1微分方程的概念与实例n阶常微分方程的含有n个相互独立任意常数ci，C2，...，Cn的解 y= β(x, Ci, C2,…,c,)称为该方程的通解，如果方程的解不包含任意常数，则称它为特解。例7：y=cicosx + c2sinx是方程 "+y=0 的通解,y=cicosx +c2cosx不是方程 y"+y=0 的通解y = cosx,y= sinx,y = cosx + sinx都是方程的特解
1.1 微分方程的概念与实例 n阶常微分方程的含有n个相互独立任意常数c1， c2，.，cn的解 称为该方程 的通解，如果方程的解不包含任意常数，则称它 为特解。 例7：y = c1cosx + c2sinx是方程 的通解， y = c1cosx + c2cosx不是方程 的通解， y = cosx, y = sinx, y = cosx + sinx都是方程的特解。 ( , , , , ) 1 2 n y = ϕ x c c c y ′′ + y = 0 y ′′ + y = 0
1.1微分方程的概念与实例若想得到特解，需要先得到通解再确定通解中的任意常数。在确定通解中任意常数的时候，需要微分方程满足一定的条件。通常的条件为初始条件，即指定方程在自变量为x.时满足的条件dy(xo)dn-y(xo)(n-1)Vo..y(xo) = yo ,yodr"-1dx
1.1 微分方程的概念与实例 若想得到特解，需要先得到通解再确定通解中的 任意常数。在确定通解中任意常数的时候，需要 微分方程满足一定的条件。通常的条件为初始条 件，即指定方程在自变量为x0时满足的条件