lim(r2+5) (I)lin 4+5 2x-3-lim(x-3)=2-3 9 (2)ir 33-3 mx+1=3+1=0 (3)lir m-x2-1=1imx+i=2=0 (4)lim4-2x2 03x2+2x=ln4x2-2x+1-1 03x+2 (5川lim x+h)2 2hr+h2 h -lIn k→0 h -lim(2x+h)=2x. +2) (6lim2-+ 2-0+0=2. 上 (7)lim 1-1/ Im x+62x2 1∞2-1/x-1/x2 (8)mx4-3x2+1x01-3/x2+1/x=i=0 (9)im 6x9=bn、(x-2)(x-4)2 5x+4x4(x-1)(x-4)3 (10)lim1+ (1+0)(2-0)=2 (11)lim1+2+1+……+=lim 1-1/2+1 1-1/2 12)ima1+3+"+(n-1)=lm1+(n-1)1n=1. (13)ln(n+1)(m+2)(n+3) im/1⊥1 x11-x1-x3=1im1+x+x2-3 (14)im/1 一(1-x)(1+x+25=-1m+x+1= 2.计算下列极限 (1)lim+2x2 (2)lim 2x+1 ·36·
(3)im(2x3-x+1) 解(1)∵li (x-2)20 +2x216 原式 (2)∵li li 2 原式 +1=1m2-1/x2+1 0 原式 3.计算下列极限 (1limxsin 1 (2)lim arctan r 解(1)当x→0时,x2是无穷小;而sn≤1,即sin是 有界景,所以x23in1是无穷小,故 limr sin 0. (2)当x→∞时,1/x是无穷小;又| arctan x|<π/2,即 arctan x是有界量,所以( arctan a)/x是无穷小,故 arctan 4.证明本节定理4 定理4如果lmf(x)=A,limg(x)=B,则 limb (x)]存在,且 lin[f(x)·g(x)]=AB=limf(x)·limg(x) 证明【可用无穷小的性质去证明极限运算法则.】 ∵imf(x)=A,∴f(x)=A+a(ima=0), 同理由img(x)=B=>g(x)=B+A(im=0), f(x)·g(x)=(A+a)(B+A) AB+ AB+ Ba+ap=AB+y
其中y=AB+Ba+aβ仍为无穷小, im[f(x)·g(x)]=AB=limf(x)·limg(x) 第七节极限存在准则两个重要极限 知识要点与考点 1.夹逼准则(即两边夹法则、迫敢性)【考点】 1)数列情形设y≤xn≤x(n∈N),且limy=imz,=a,则 2)函数情形设x∈U°(x,r)(或|x|>M等)时,g(x)≤ f(x)≤h(x),且limg(x)=limh(x)=A,则imf(x)=A 2单调有界准则【考点】 单调有界数列必有极限.即单调增加有上界,或单调减少有下 界的数列必存在极限 3.两个重要极限【考点】 S1n T lim(1+ 4柯西审敛原理 x}收敛的充要条件是,ε>0,3N>0,使得当m>N,> N时,都有 Lxu-Ex<e 习题1—7解答 1.计算下列极限 (1lim 0 r lim sinω·a=0·1= SIn wr (2)lm tan 3x -ilm sin 3r 3 .0 3x cos 3x 38
511≈ lip Sin2x5x (3)lim sin 2r 2xsin5x5=11·5=5 (limacon =lim CoS T (5)lm 1-cos 2.I=lim SIn 2 x→0xS1x rsin r (6)lim2"sinc(x为不等于零的常数) n sin ·x=x·1=x, 2计算下列极限 (1)lm(1-x)=imL(1-x)-47=e=1/e (2)lim(1+2x)=im[(1+2x)]=e (3)lm(1+2=m(1+1)1=e÷ (4)lim 1 (k为正整数) =e-k=1/e 3根据函数极限的定义,证明极限存在的准则r 准则I如果(1)当x∈U°(xo,r)(或|x|>M)时,有 g(x)≤f(x)≤h(x) 成立; (2) lim g(x)=A, lim h(r)=A →cc 那末limf(x)存在,且等于A 证明【这类题需要根据已知条件,去找使各式成立的公共的 δ.】仅就x→x。的情形证明姐下;x→∞或其它情形的证明类似 留给读者练习 ye>0,因为limg(x)=A,于是彐81>0,当0<|x-x。1<8 时,总有 39·
Ig(x)Al<e, Bp A-E<g(r)<Ate 又imh(x)=A,对于上述e>0,382>0,当0<|x-x。|<2 时,总有 Ih(x)-Al<e, Ep A-e<h(x<A+e 再由题设,当x∈U°(x0,),即0<|x-x<r时,总有 g(x)≤∫(x)≤h(x) 为了兼厦①、②、③同时成立,我们取 于是对于上述e>0,38>0,当0<|x-x。<8时,①回③同时 成立,可得x∈U°(x0,0)时,总有 A-<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+E, A-ε<f(x)<A+e,即|f(x)-A|<e, 从而极限lmf(x)存在,且 limf A 4.利用极限存在准则证明: (1)lim1+ (2)imn\n2+丌n2+2x… n"TnIt 3)数列√2,√2+√2,V2+√2+√2,…的极限存在 证明【运用准则I的关键是找出两边夹的不等式;运用准则 I需分别论证单调性与有界性,然后才能对等式两边取极限】 <1+,而 lim 1 1 n元 40