习题1-5解答 1.两个无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明之 答【特别要注意,不要把有限数的运算法则随意搬到无穷小 大)的运算中来.】两个无穷小的商不一定是无穷小.例如当x 0时,x2,2x2,x3, rsin(见下题之(2))都是无穷小,但 n2x2=2,商2不是无穷小; lmx3=1imx=,商也不是无穷小; rsin x=limin不存,参xsmx也不是无穷小 +0 2根据定义证明: (1)y-x+3当x→3时为无穷小; 2)y=xin1当x+0时为无穷小 证明(1)￥E>0,欲使 9 x3=1x-3<e, 只须取δ=e于是对于Vε>0,彐δ=0,当0<|x-3|<δ时,便总 有 x+3 <E,即有lin r+3x+3=0, 所以y 9当x→3时为无穷小 +3 (2)e>0,欲使xsin<E,只须|x|<e,取b=e.于是对于 e>0,3δ=e,当0<|x-0|<8时,便总有 xsin≤|xl<e
故y=xsin1当x→0时为无穷小 3根据定义证明:当x→0时,函数y=1+2x是无穷大间x 应满足什么条件,能使|y|>104 证明M>0,欲使1+2x|=1+2|>M,只须 >M+2,即|x1<M+2 取8M+2·于是M>0,38=M+2 当0<|x-0|<δ时,便 总有 1+2x 2>M 所以当x→0时y=1+2是无穷大 由上述证明可知:当 10002时,y>104 4求下列极限并说明理由 (1)lin2x+1 (2)im 解(1) 2x+1 =2+,而x→∞时,是无穷小,即 2x+1 文 可表为常量2与无穷小之和,所以 lin 2x+I 2. (2) 1+x,而x→0时,x是无穷小,即;可表为常 数1与无穷小之和,所以 li 5根据函数极限或无穷大定义,填写下表:
∫(r)→A ∫(r)→∞ ∫(x)→+c ∫(x)→-0 E>0 M>0 M>0 VM>O >0 日8>0 0<x-x<时p<x-x|<时<|x-zol<6时p<|x-x<时 营有(x)-A<皆有(x)|>M皆有f(x)>M)有f(x)<-M ye>0 VM>0 Y M>0 y M>0 δ>0 38>0 扫b>0 0<xx<时r-xo<时卩<x-z<b时0<x-x<8时 皆有f(x)-A|<l皆有|f(x)>M皆有f(x)>M告有f(x)<-M Ye>0 y> V ADO M>0 6>0 3b>0 日>0 日>0 0<x0-x<时0<z-x<6时<xx<时0<x-x<时 皆有|f(x)-A」<e皆有f(x)>M有f(x)>M偕有f(z)<-M M>0 V M0 ￥M>0 X>0 X>0 3x>0 日X>0 是→Q 当x>x时当>X时当1x|>X时￥x>x时 皆有f(x)-A|<!皆有f(x)|>M皆有f(x)>M皆有fx)<-M H>0 V M>O Y M20 日X>0 日X>0 x十0o 当x>X时 当x>X时 当x>X时 当x>X时 皆有f(x)-A|<e皆有if(x)1>M皆有f(x)>M皆有f(x)<-M >0 3X>O 3 X>O r→一 当x<-X时档当x<一X时当x<-x时当x<-X时 皆有|f(x)-A|<皆有f(x)|>M皆有fx)>M有f(x)<-M 6.函数y= xcos r在(∞,+∞)内是否有界?又当x→+∝ 时,这个函数是否为无穷大?为什么? 答【要分清无界与无穷大(量)是两个不同的概念要搞清它 们之间的区别】y= ccos a在(-∞,+∞)内无界事实上,yM >0,在(-∞,+∞)内总能找到x=2k(k∈Z),使得 y(2更π)|=|2是cos(2kr)|=12 33
这只须k|>a(k∈z)即可办到 但y= rcos x当x→+∞时却不是无穷大,这只须举反例即 可说明.例如,取xn=2nx+π/2(n∈N),当x→+∞时,n→∞,有 xn→+∞,可是 y(rn)=(2nT+o)cos (2nT+6)=0 这说明y当x→+∞时也不是无穷大 注:由此可见,无界量与无穷大是两个不同的概念,无穷大要 求对于一切x>X(或|x|>X,0<|x-x|<谷等),皆有」y ly(x)|>M,而无界量只须找到某个这样的x有ly|>M即可 7证明:函数y1,)在区间(0,1]上无界,但当x→+0 时,这函数不是无穷大 证明【为了书写简便,从本题开始,在运用极限定义证题 时,我们不每次先分析找8(或N)再综合叙述;有时直接用综合法 给出证明】M>0,取 2([M]+1)丌+x/2 ∈(0,1], y(x1)={2([M]+1)x+2sin{2M]+1)x+ =2([M]+1)x+>M, 所以函数y=-sin在(0,1]上无界 但该函数在(0,1]上当x→+0时却不是无穷大,这只须举反 例说明即可例如取x=1(m∈N),当x→+0时,x→+0(2 ∞时),当n充分大时,x,∈(0,1,而 y(xs)=sin sin nT nTU (nsin nx)=0 34·
这可说明该函数在(0,1]上不是无夯大 第六节极限运算法则 知识要点与考点 1.无穷小的性质【考点】 设a、β都是自变量某变化过程中的无穷小,a是有界量,c为 常数,n∈N,则 a±B,ua,ca,aP,a",at…B,a·…·B 都是同一变化过程中的无穷小 2极限的四则运算法则 设lm⑩f(x)=A,limg(x)=B,则∫与g之和、差、积、商(此 时要求B≠0)的极限都存在,且 士 imf(x)×g(x)|=A×B; 特别地 lim[Cf()]=CA lieff(x)]=A' 3复合函数的极限【考点】 设mg(x)=a且u=g(x)≠a(x∈U°(x)),又limf(u)=A, limfLo(x)]=limf qu)=A 习题1一6解答 1.计算下列极限② ①这里极限符号下省略了下标,表示对任一变化过種都成立 ②对下面这类简单计算题我们略去了抄题和写“解”而直接演算.下同 35