6.4.2二阶常系数线性齐次微分方程解的结构 函数的线性无关概念 定义6-1：设y1x),2x)为定义在(a,b)上的 函数，如果存在非零常数k,使得y,(x)≡y,(x), 则称y1),y2x)线性相关；如果对于任意常数k, (x)丰y2(x),则称y1心)，y2x)线性无关 例如 函数er与xer, sinx与cosx之间线性无关， 而x2与2x2之间线性相关
定义6-1：设 y1 (x)，y2 (x)为定义在（a , b）上的 1 2 y x ky x ( ) ( ), 1 2 y x ky x ( ) ( ) ， 则称y1 (x)，y2 (x)线性相关； 则称y1 (x)，y2 (x)线性无关. 例如 如果对于任意常数k， 函数，如果存在非零常数k，使得 函数e x与xex ， sinx与cosx之间线性无关, 而 x 2与 2x 2 之间线性相关. 函数的线性无关概念 6.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程解的结构 定理6-1（二阶常系数线性齐次方程解的叠加定理 若y(x)与y,(x)是齐次方程的两个解，则 y(x)=cy(x)+c2yz(x) 也是齐次方程的解，其中cc,是任意常数 定理6-2（二阶常系数线性齐次方程的通解结构定理 若y(x)与y,(x)是齐次方程的两个线性无关解 ( ≠常数 ,则y(x)=C(x)+C2y2(x) (x) 是齐次方程的通解，其中cc,是任意常数 证明略
定理6-1（二阶常系数线性齐次方程解的叠加定理） 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . y x y x y x c y x c y x c c = + 若 与 是齐次方程的两个解，则 也是齐次方程的解，其中 、 是任意常数 定理6-2（二阶常系数线性齐次方程的通解结构定理） 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . y x y x y x y x c y x c y x y x c c = + 若 与 是齐次方程的两个 常数 ,则 是齐次方程的 ，其中 线性 、 是任 无关解 通解 意常数 6.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程解的结构 证明略
【注定理6-2表明，求解齐次方程的关键是求 齐次方程的两个线性无关解， 即：只需求出它的两个线性无关的特解 y1(x)与y2(c)即可得到它的通解 y(x)=cy(x)+c2v(x) 如何求的齐次方程的两个线性无关的特解呢？ -秋私 下面根据齐次方程的特征，分析其特解的形式
注 定理6-2表明，求解齐次方程的关键是求 齐次方程的两个线性无关解. 即：只需求出它的两个线性无关的特解 y1 (x)与y2 (x)即可得到它的通解： 1 1 2 2 y x c y x c y x ( ) ( ) ( ) = + 如何求的齐次方程的两个线性无关的特解呢？ 下面根据齐次方程的特征，分析其特解的形式
y+py+qy=0特点是：函数y与其一阶导数y' 二阶导数y”分别乘以常数后，可以合并为0，E 即 y与y'、y”应为只差一个常数因子的“同类项” 由导数知识可知，这类函数最简单的类型应为 指数函数y=ex（r为待定常数) 因此可以假设方程的特解为y=ex y=rerx y"=r2erx 代入微分方程，得 (r2+pr+g)erx =0 .·ex≠0，故有 r2+pr+q=0
y y y 二阶导数 分别乘以常数后，可以合并为0，即 y与 、 应为只差一个常数因子的“同类项”. 函数 y与其一阶导数 y 、 由导数知识可知，这类函数最简单的类型应为 指数函数 r x y e = 因此可以假设方程的特解为 r （ r 为待定常数） r x y e = y p y q y + + = 0 特点是： r x y re = 2 r x y r e = 代入微分方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q =
也就是说，只要r是代数方程r2+pr+q=0 的根，那么y=ex就是齐次微分方程的解。 于是齐次微分方程的求解问题，就转化为求 代数方程的根的问题。我们把代数方程 特征方程 r2+pr+q=0 称为齐次微分方程的特征方程。其中2，r 的系数及常数项恰好依次是齐次方程 y”+py+qy=0y”,y及y的系数. 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 特征方程法
特征方程 0 2 也就是说，只要 r 是代数方程 r + pr + q = 的根，那么 rx y e = 就是齐次微分方程的解。 于是齐次微分方程的求解问题，就转化为求 代数方程的根的问题。我们把代数方程 称为齐次微分方程的特征方程。 0 2 r + pr + q = 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 -----特征方程法 2 其中 r r ， 的系数及常数项恰好依次是齐次方程 y p y q y + + = 0 y y y ， 及 的系数