第三章平面与空间直线 教学目的：掌握并熟练应用平面与空间直线的各种形式的方程以及它们 相互关系的各种解析表示：熟练掌握把各种有关决定平面和直线的几何条件 转换成平面和直线的解析方程的方法：牢记并熟练应用一些计算公式。 3.1平面的方程 教学目的 1、掌握平面的点位式方程和点法式方程的决定条件和求解过程。 2、掌握平面的一般方程形式，理解在直角坐标系下，一般方程中一 次项系数的几何意义。 3、掌握特殊平面的一般方程的特征。 4、掌握平面的一般方程化为法式方程的步骤，理解法式方程中系数 和常数项的几何意义。 教学重点 平面的一般方程形式，理解在直角坐标系下，一般方程中一次项系 数的几何意义。 教学难点 平面的一般方程化为法式方程的步骤，理解法式方程中系数和常数 项的几何意义。 教学内容 1.由平面上一点与平面的方位向量决定的平面方程 在空间给定了一点M。与两个不共线的向量ab,那么通过点M。且与向 量ab平行的平面元就唯一地被确定，向量ab叫做平面元的方位向量，显然 任何一对与平面π平行的不共线向量都可以作为平面π的方位向量。 在空间，取标架Oe,e,8},并设点M的径矢OM.=力，平面π上的 任意一点M的径矢为OM=r(图3-1)
图3-1 显然点M在平面π上的充要条件为向量MoM与a,b共面，因为a,b不共线， 所以这个共面的条件可以写成： MoM=ua+vb, 又因为M,M=r-,所以上式可改写为： r-r=ua+vb 即 r=r+ua+vb, (3.1-1) 方程(3.1-)叫做平面的向量式参数方程，其中4，V为参数. 如果设点M,M的坐标分别为(，，（化，2）那么 ={xo,20},r={x,y,z} 并设 a={X,Y,Z},b={X2,Y2,Z2}, 那么由(3.1-1)得 x=xo+Xu+X2v; y=yo+Yu+rv, z=20+Z4+Z2y (3.1-2) (3.1-2)叫做平面π的坐标式参数方程，其中4，V为参数。 从(.1-)或”-=4a+b两边与a×b作数性积，消去参数“，V得 (r-o,a,b)=0, (3.1-3) 从(3.1-2)消去参数4，V得 x-x0y-y。z-20 X yZ=0, X,Y,Z (3.1-4) (3.1-1)，3.1-2)，(3.1-3)，(3.1-4)都叫做平面的点位式方程
例1 已知不共线三点M,,M,☑M,(,,2,M,(x,)。 求通过M,M,M三点的平面π的方程 解 取平面π的方位向量a=MM,b=MM3,并设点M(c,y,2)为 平面π上的任意上一点（图32），那么 图32 r OM={x,y,z), 5=OM,={x,y,z},(i=1,2,3) a=MM2=5-片={x2-x,y3-,z2-z1}, b=MM3=5-片={x-x,3-M,23-z1} 因此平面π的向量式参数方程为： r=5+M(5-5)+v(5-5) 坐标式参数方程为： x=x+4(x2-x)+(x3-x) y=y+(2-y)+v(y-), 2=z1+4(z2-)+(z3-21 (3.1-6) 从(3.1-5)与3.1-6)分别消去参数4，v得 (r-5,3-5,5-5)=0 (3.1-7) 与 x-x y-y 2-z1 X2-x1 y2-y1 22-z1=0: x3-x1y3-y1z3-z1 (3.1-8) (3.1-8)又可改为
x y z y z =0 y2 Z2 X3 y3 Z3 (3.1-8) 方程3.1-5)-(3.1-8)都叫做平面的三点式方程 作为三点式的特例，如果已知三点为平面与三坐标轴的交点 M,(a0,0,M,0,b,0),M,0,0,c其中abc≠0）（图3-3）， A0.0.c 0..c 阳3-3 那么由3.1-8)得 x-a y z -a b0=0, -a 0 c 把它展开可写成 bcx+acy abz abc, 由于abc≠0，上式可改写为 x+y+2=1, a b c 3.1-9) (仔.1-9)叫做平面的截距式方程，其中a,b,c分别叫做平面在三坐标轴上的截 距 2.平面的一般方程 因为空间任一平面都可以用它上面的一点M,(化，，2)和它的方位向量 a={X,Y,Z,b={X,Y,乙}确定.因而任一平面都可以用方程6.1-4) 表示，把(3.1-4)展开就可写成： Ax+By+Cz+D=0, (3.1-10) 其中
因为A,b不共线，所以A,B,C不全为零，这表明空间任一平面都可以用关于 x,y,2的三元一次方程来表示。 反过来，也可以证明，任一关于变元x,八，2的一次方程(3.1-10)都表示一 个平面.事实上，因为A,B,C不全为零，不失一般性，可设A≠0，那么 (3.1-10)可改写成 4(x+凸+ABy+4C2=0, A 即 D X+ B -A 0 =0, 0 M-P0,0) 显然，它表示由点 A 和两个不共线向量{B,-A,0}和{C,0,-A所 决定的平面，因此我们证明了关于空间中平面的基本定理： 定理3.1.1空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数x,y,2的一 次方程；反过来，每一个关于变数x,,2的一次方程都表示一个平面. 方程(3.1-10)叫做平面的一般方程. 现在来讨论(3.1-10)的几种特殊情况，也就是当(3.1-10)中的某些系 数或常数项等于零时，平面对坐标系来说具有某种特殊位置的情况. 1°D=0,(3.1-10)变为Ax+By+C2=0,此时原点(0,0,0)满足 方程，因此平面通过原点：反过来，如果平面(3.1-10)通过原点，那么显然 有D=0 2°A,B,C中有一为零，例如C=0,(3.1-10)就变为 Ax+By+D=0. 当D≠0时，2轴上的任意(0,0,2)都不满足方程，所以平面与z轴平行：而 当D=0时，z轴上的每一点都满足方程，这时z轴在平面上，即平面通过z 轴，反过来容易知道，当平面(3.1-10)平行于z轴时D≠0，C=0:当 (3.1-10)通过z轴时，D=C=0 对于A=0或B=0的情况，可以得出类似的结论. 因此，由1°与2°我们有： 当且仅当D=0,平面(3.1-10)通过原点