定理4比值审敛法（D'Alembert判别法）un+l = p, 则设Zun为正项级数,且limn0un(1)当p<1 时,级数收敛;(2)当p>l或p=80 时,级数发散Un+l证：(1)当p<1时,取ε使p+ε<l,由limunn-00, un+l<p+<1知存在 NZ+,当n>N时,un:. un+1 <(p+)un<(p+)?un-1<(p+e)"-N un+1(p+ε)收敛，由比较审敛法可知un收敛
定理4 比值审敛法 ( D’Alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . 由比较审敛法可知
(2)当p>1或p=时,必存在NZ+,u0,当n≥Nun+l>1,从而时 unun+1 >un>un-1>.>un因此limun≥u≠O，所以级数发散n>00un+1=1 时,级数可能收敛也可能发散,说明：当limunn>00(n+1)pn+1Zlimlim例如,p-级数1n=inpn->00unn->00nbp>1,级数收敛但p≤l,级数发散
因此 所以级数发散. 时 (2) 当 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而