例讨论等比级数几何级数80Zaq" = a aq+ aq aq" . (a* )n=0的收敛性。解主当|g |±1时=a + aq+ aq" +...+ aq"-11a-aqaaq1-q1-q1-q
例 讨论等比级数(几何级数) = + + ++ + = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a 0) 的收敛性. 解
alimgn =0 ::.lims当<1时，“收敛11-qn-00n-0limg"=8.当>1时，“lims=8发散Yn-8n-→00如果=1时当q=1时，S,= na→0发散当q=-时，级数变为a-a+a-a+.lims,不存在发散n-8当q<1时,收敛8等比级数是一Z4综上aq当≥1时,发散个常用的级数n=0
当q 1时, lim = 0 → n n q q a sn n − = → 1 lim 当q 1时, = → n n limq = → n n lim s 收敛 发散 如果q = 1时 当q = 1时, 当q = −1时, sn = na → 发散 级数变为a − a + a − a + n不存在 n s → lim 发散 综上 = 当 时 发散 当 时 收敛 1 , 1 , 0 q q aq n n 等比级数是一 个常用的级数
二、收敛级数的基本性质性质1如果级数Zu，收敛于和s，则级数ku,也n=l敛，且其和为ks。其中k为任一常数。如果级数≥"，≥都收敛，则性质28CuntEE(untvn)=Z(u,tyn)也收敛V级数nn=ln=1n=1n=1注意：两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如08oZ1发散,Z1+1发散,(-1)发散,而1+(-1)收敛,n=1n=ln=ln=ln=1n=1
二、收敛级数的基本性质 性质2 如果级数 ， 都收敛，则 级数 也收敛， 性质1 如果级数 收敛于和 ，则级数 也 敛， 且其和为 。其中k为任一常数。 n=1 un n=1 n ku ks n=1 un n=1 n v ( ) 1 n n n u +v = = = = + = + 1 1 1 ( ) n n n n n n n u v u v s 注意：两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如 = = = = = = − + − + 1 1 1 1 1 1 1 , ( 1) , 1 ( 1) , 1 1 n n n n n n 发散 发散而 收敛 发散
性质3在级数中删除、增加或改变前面的有限项，不会改变其的敛散性性质4收敛级数任意加括号后形成的新级数收敛于原来的和s。(u+..u.)+(un+ +.+un,)+.+(un-+i +..+u.)+..注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛例如(1-1) +(1-1) +..收敛1-1+1-1+..发散推论如果加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散
性质3 在级数中删除、增加或改变前面的有限项，不会改变 其的敛散性 性质4 收敛级数任意加括号后形成的新级数收敛于原来的和s。 (u1 ++ un1 ) + (un1 +1 ++ un2 ) ++ (unk−1 +1 ++ unk ) + 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. (1−1) + (1−1) + 1− 1+ 1− 1+ 推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散. 收敛 发散 例如
性质5（级数收敛的必要条件）Z如果级数u,收敛，则limu.=0n=1n-→8注意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例调和级数+32n的一般项趋于零，但它却是发散的
性质5 （级数收敛的必要条件） 如果级数 收敛，则 n=1 un lim = 0 → n n u 注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。 例 调和级数 + + + + + n 1 3 1 2 1 1 的一般项趋于零，但它却是发散的