同态的实例 例2设半群V1=<S,>,独异点V2=<S,e>.其中·为 矩阵乘法,e为2阶单位矩阵, la,d∈R 令φ:S>S, 00,@是半群v的自同 态,不是独异点V2的自同态,因为它没有将V2的单 位元映到V2的单位元
11 同态的实例 例2 设半群 V1 = <S,·>，独异点 V2= <S,·,e>. 其中 · 为 矩阵乘法，e 为 2 阶单位矩阵, 令 ：S→S, , 是半群 V1 的自同 态,不是独异点 V2 的自同态，因为它没有将 V2 的单 位元映到 V2 的单位元. = a d R d a S | , 0 0 = 0 0 0 0 0 a d a
群的定义与性质 ■群的定义与实例 ■群中的术语 口有限群、无限群与群的阶 口Abe群 口群中元素的幂 口元素的阶 群的性质 口幂运算规则、 口群方程的解 口消去律 口群的运算表的排列
12 群的定义与性质 ◼ 群的定义与实例 ◼ 群中的术语 有限群、无限群与群的阶 Abel群 群中元素的幂 元素的阶 ◼ 群的性质 幂运算规则、 群方程的解 消去律 群的运算表的排列
群的定义与实例 定义设<G,o>是代数系统,O为二元运算.如果o 运算是可结合的,存在单位元e∈G,并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群 群的实例 (1)<Z,+>,Q,+>,R>是群;<团,+>,N,>不是群 (2)<Mn(R),十>是群,而<Mn(R)>不是群 (3)<P(B),⊕>是群,⊕为对称差运算 (4)<Zn,>,是群.Zn={0,1,…,n-1},⊕为模n加 13
13 群的定义与实例 定义 设<G, >是代数系统，为二元运算. 如果 运算是可结合的，存在单位元 e∈G，并且对 G 中 的任何元素 x 都有 x −1∈G，则称 G 为 群. 群的实例 (1) <Z,+>,<Q,+>,<R,+>是群；<Z+ ,+>,<N,+>不是群. (2) <Mn (R),+>是群，而<Mn (R),·>不是群. (3) <P(B),>是群，为对称差运算. (4) <Zn ,>，是群. Zn={ 0,1, …, n−1}，为模 n 加
Klein四元群 设G={e,a,b,c},G上的运算由下表给出, 称为Kein四元群 b 运算表特征: ·对称性一运算可交换 ee a C 主对角线元素都是幺元 已c b 一每个元素是自己的逆元 bb ce a a,b,c中任两个元素运算 ccb a 都等于第三个元素 14
14 Klein四元群 设G = { e, a, b, c }，G上的运算由下表给出， 称为 Klein四元群 e a b c e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e 运算表特征： • 对称性---运算可交换 • 主对角线元素都是幺元 ---每个元素是自己的逆元 • a, b, c 中任两个元素运算 都等于第三个元素