独异点的幂 独异点的幂运算定义 n1. x or, n∈N 幂运算规则 xoom=xnl+m Cr")m= x"m m,n∈N
6 独异点的幂 独异点的幂运算定义 x 0 = e x n+1 = x n x, n∈N 幂运算规则 x n x m = x n+m (x n ) m= x nm m, n∈N
交换半群和独异点的实例 例1(1)<Z,+,0>,<N,+,0>,<Z,+,0>,<Q,+,0>,<R,+,0>都是交 换半群,也是独异点,+是普通加法 (2)设n是大于1的正整数,<Mn(R,+>和<Mn(R),>都是 独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法加 法构成交换半群,乘法不是交换半群 (3)<P(B),A,⑧>为交换半群和独异点,其中⊕为集合的对 称差运算 (4)<Zn,,0>为交换半群与独异点,其中Zn={0,1, n-1},⊕为模n加法 (5)<4,o,I>为独异点,不是交换半群,其中o为函数的 复合运算
7 交换半群和独异点的实例 例1 （1）<Z + ,+,0>,<N,+,0>,<Z,+,0>,<Q,+,0>,<R,+,0>都是交 换半群，也是独异点，+ 是普通加法. （2）设 n 是大于 1 的正整数，<Mn (R),+>和<Mn (R),·>都是 独异点，其中+和· 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 加 法构成交换半群，乘法不是交换半群. （3）<P(B),,>为交换半群和独异点，其中为集合的对 称差运算. （4）<Zn , ,0>为交换半群与独异点，其中 Zn = {0, 1, …, n−1}， 为模 n 加法. （5）<AA , ,IA>为独异点，不是交换半群，其中 为函数的 复合运算
半群与独异点的子代数 定义半群的子代数称为子半群,独异点的子代数称 为子独异点 判断方法 设<S,>为半群,T是V的子半群当且仅当T 对o运算封闭.设V=<S,,e>为独异点,T是v的 子独异点当且仅当T对。运算封闭,且e∈T 实例: <Z+,+>,<N,+>是<Z,+>的子半群,<N,+>是<Z,+ 的子独异点,<Z+,+>不是<Z,+>的子独异点
8 半群与独异点的子代数 定义 半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称 为子独异点 判断方法 设 V=<S,>为半群，T 是 V 的子半群当且仅当 T 对 o 运算封闭. 设 V = <S, , e>为独异点，T 是 V 的 子独异点当且仅当 T 对 o 运算封闭，且 eT 实例： <Z+ ,+>, <N,+>是<Z,+>的子半群，<N,+>是<Z,+> 的子独异点， <Z+ ,+>不是<Z,+>的子独异点
半群与独异点的积代数 定义设V1=<S1o>,V2=<S2,*>是半群(或独异 点),令S=S1XS2,定义S上的·运算如下: V<a,b><C,d>∈s, <a,b><C,d>=<oC,b*> 称<S,>为V和V2的积半群(直积),记作 V×V2若Ⅵ1 190y1 和V2=<S2,*,e2>是独 异点,则V×V2=<S1XS2,1,e2>>也是独异 点,称为独异点的积独异点(直积)
9 半群与独异点的积代数 定义 设 V1=<S1 , >，V2=<S2 ,∗> 是半群 (或独异 点)，令S = S1×S2，定义 S 上的 · 运算如下： <a,b>,<c,d>∈S， <a,b>·<c,d> = < ac, b∗d > 称 <S,·>为 V1 和 V2 的 积半群（直积），记作 V1×V2 . 若 V1 = <S1 ,, e1> 和 V2 = <S2 ,∗, e2> 是独 异点，则 V1×V2 = <S1×S2 , ·,<e1 ,e2>> 也是独异 点, 称为独异点的 积独异点 (直积)
半群和独异点的同态 定义(1)设v=<S1,o>,V2=<S2*>是半群,q: S1→S2若对任意的x,y∈S1有 cp ( xoy)=op(x)*pv) 则称φ为半群V1到V2的同态映射,简称同态 (2)设V1=<S,o,e1>,V2=<S2,*,2>是独异点, φ:S1→S2,若对任意的x,y∈S1有 φ(xoy)=qp(x)*q()且φ(e1)=e2, 则称φ为独异点V1到V2的同态映射,简称同态 10
10 半群和独异点的同态 定义 (1) 设V1= <S1 , >，V2= <S2 ,∗>是半群，： S1→S2 . 若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 则称 为半群 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态. (2) 设V1 = <S1 , ,e1>，V2 = <S2 ,∗,e2> 是独异点， : S1→S2 . 若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 且 (e1 ) = e2 , 则称 为独异点 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态