Y=d(x) Y=C(X) o a b 性质 ()连续性 若二元函数fxy在矩形域G=(xy)(x)sysd(xa≤xsb 上连续,其中c(x),(x)为定义在[ab上的连续函数,则函数 d(x) F(x)=0(xy)在a上连续
x y o a b G Y=c(x) Y=d(x) • 性质: (i)、 连续性: 若二元函数 f (x, y) 在矩形域 G = (x, y) c(x) y d(x),a x b 上连续,其中 c(x) , d(x) 为定义在 [a,b] 上的连续函数,则函数 = ( ) ( ) F(x) ( , ) d x c x f x y dy 在 [a,b] 上连续
)、可微性 若f(xy)f(x,y)在R=(ab×x,q上连续,c(x)2d(x)为定义在 ab上其值含于[Pq内的可微函数,则函数 xr F(x) f(x,y)在{ab止可微,且 F(x)=f(x,y)dy+f(x, d(x)d'(x)-f(x, c(x)c(x) C(x 请结合复合函数及活动上限积分的求导法则完成证明 例1:求lim dx →>0 +x-+C
F (x) ( , ) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ). ' ' ( ) ( ) ' f x y dy f x d x d x f x c x c x d x c x = x + − [a,b] 上其值含于 [ p, q] 内的可微函数,则函数 = ( ) ( ) F(x) ( , ) d x c x f x y dy 在 [a,b] 上可微, 且 请结合复合函数及活动上限积分的求导法则完成证明 若 f (x, y), f x (x, y) 在 R =[a,b][ p,q] 上连续, c(x), d(x) 为定义在 (ii)、 可微性: 例1: . 1 lim 1 2 2 0 + → + + x dx 求
解:/(a) 1+x2+a 由于a,1+ 都是c和x的连续函数 1+x2+a 所以(a)在a=0处连续,从而 1+a dx dx 元 a0a1+x2+a2 (0) J01+x 4 例2:求1=[xx dx (b>a>0) 解:因为|xahy X-X In x
. 1 ( ) 1 2 2 + + + = x dx 解: 记I . 1 4 (0) 1 lim 1 1 0 2 2 2 0 = + = = + + + → x dx I x dx x ， x 由于 都是和 的连续函数 2 2 1 1 ,1 , + + + 所以I()在 = 0处连续， 从而 例2 : ( 0). ln 1 0 − = dx b a x x x I b a 求 解: , ln x x x x dy b a b a y − = 因为