幂级数的性质 Abel第一定理:如果幂级数在点收敛,则当|xk时幂级数绝 对收敛;如果幂级数在点n发散,则当|x>n时幂级数发散。 显然,这一结论已包含在定理10.31之中。 定理10.33(Abel第二定理)设幂级数∑anx"的收敛半径为R, ()∑anx"在(R,R上内闭一致收敛,即在任意闭区间[a,b]c (R,R)上一致收敛; (i)若在x=R收敛,则它在任意闲区间{a,R]c(-R,R上一致收 敛
定理 10.3.3 (Abel 第二定理) 设幂级数∑ ∞ n=0 n n xa 的收敛半径为 R， 则 (i) ∑ ∞ n=0 n n xa 在(-R，R)上内闭一致收敛，即在任意闭区间[a, b] ⊂ (-R,R)上一致收敛； (ii) 若在 x = R 收敛，则它在任意闭区间[, ] ( , ] aR RR ⊂ − 上一致收 敛。 幂级数的性质 Abel 第一定理：如果幂级数在点ξ 收敛，则当| || | x < ξ 时幂级数绝 对收敛；如果幂级数在点η 发散 ，则当| || | x > η 时幂级数发散。 显然，这一结论已包含在定理 10.3.1 之中
证 ()记5=max{alb},对一切x∈a,b,成立 由于|5kR,所以∑lan5"收敛,由 Weierstra判别法,可知∑anx"在 a,b]上一致收敛
证 (i) 记ξ = max | |, | | { a b }，对一切 x∈[a, b]，成立 ≤ n n xa n n a ξ . 由于| | ξ <R，所以 0 | | n n n a ξ ∞ = ∑ 收敛，由 Weierstrass 判别法，可知∑ ∞ n=0 n n xa 在 [a, b] 上一致收敛