例10.3.1幂级数∑,∑,∑mx+1)的收敛半径都是 R=1。∑x的收敛域是-1,1∑x的收敛域是D2]:∑x+y -1n 的收敛域是(-2,0)。 例1032考察幂级数∑((x-1)的收敛情况。 解因为 hm42+(4y=3, n→)0 所以收敛半径为R 读者可以自己证明:当x=1+R=5与x=1-R=1时,幂级数都 2 6 是发散的。因此它的收敛域是
例 10.3.2 考察幂级数∑ ∞ = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − −+ 0 21])1(2[ n n nn x n 的收敛情况。 解 因为 n ∞→ lim n nn n −+ ])1(2[ = 3， 所以收敛半径为 R = 31 。 读者可以自己证明：当 x = + 21 R = 65 与 x = − 21 R = 61 时，幂级数都 是发散的。因此它的收敛域是 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ 65, 61 。 例 10.3.1 幂级数∑ ∞ n=1 n n x ，∑ ∞ = − 1 2 )1( n n n x ，∑ ∞ = + 1 )1( n n xn 的收敛半径都是 R = 1。∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域是[-1,1)；∑∞ = − 1 2 )1( n n n x 的收敛域是[0,2]；∑∞ = + 1 )1( n n xn 的收敛域是(-2,0)
在判断数项级数的收敛性时,除了 Cauchy判别法,还有 D' Alembert判别法,下面的定理就是 D'Alembert判别法在幂级数上的 应用。 定理10.3.2( D'Alembert判别法)如果对幂级数∑anx"成立 Im A n→0a 则此幂级数的收敛半径为R 定理的证明包含在引理9.3.1给出的不等式 小d≤ Iim vlan s lim <li n→ n→0 n→①0
在判断数项级数的收敛性时，除了 Cauchy 判别法，还有 D'Alembert 判别法，下面的定理就是 D'Alembert 判别法在幂级数上的 应用。 定理 10.3.2 (D'Alembert 判别法) 如果对幂级数 ∑ ∞ n =0 n n xa 成立 n ∞→ lim n n a a +1 = A， 则此幂级数的收敛半径为 R = A 1 。 定理的证明包含在引理 9.3.1 给出的不等式 n ∞→ lim ≤ + n n a a 1 n ∞→ lim n a n || ≤ n ∞→ lim n a n || ≤ n ∞→ lim n n a a +1 中
例10.3.3考察幂级数∑x”的收敛情况。 解因为 (n+1) n+1 n lim Im e n→ 所以收敛半径为R=1。 当x=时,∑x"是正项级数,由 Stirling公式(例9.5.5), (n→>∞) n+一 e Jn πn2e 可知∑x在x=时发散;
例 10.3.3 考察幂级数∑ ∞ =0 ! n n n x n n 的收敛情况。 解 因为 n ∞→ lim n n a a +1 = n ∞→ lim ! )!1( )1( 1 n n n n n n + + + = e， 所以收敛半径为 R = e 1 。 当 x = e 1 时，∑∞ =0 ! n n n x n n 是正项级数，由 Stirling 公式（例 9.5.5）， n n x n n ! ～ n n n n n − + π e2 2 1 e 1 ⋅ = 2πn 1 ( n → ∞ ) 可知∑ ∞ =0 ! n n n x n n 在 x = e 1 时发散；
当x=-,∑”x是交错级数,由于 n+1 (n+irx (n+1) 1+ 且 0(n→>∞) vaN 可知∑x在x=-时是 Leibniz级数,所以收敛 综上所述,∑”x的收敛域是 ee
当 x = e 1 − ，∑ ∞ =0 ! n n n x n n 是交错级数，由于 n n n n x n n x n n ! )!1( )1( 1 1 + + + + = e 1 1 1 1 ⎟ < ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + n n 且 n n x n n ! ～ 0 2 1 → πn ( n → ∞ )， 可知∑ ∞ =0 ! n n n x n n 在 x = e 1 − 时是 Leibniz 级数，所以收敛。 综上所述，∑ ∞ =0 ! n n n x n n 的收敛域是 1 1, e e ⎡ ⎞ ⎢− ⎟ ⎣ ⎠
幂级数的性质 Abel第一定理:如果幂级数在点收敛,则当|xk时幂级数绝 对收敛;如果幂级数在点n发散,则当|x>n时幂级数发散。 显然,这一结论已包含在定理10.31之中
幂级数的性质 Abel 第一定理：如果幂级数在点ξ 收敛，则当| || | x < ξ 时幂级数绝 对收敛；如果幂级数在点η 发散 ，则当| || | x > η 时幂级数发散。 显然，这一结论已包含在定理 10.3.1 之中