北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第九章 欧几里得空间（9.6）实对称矩阵的标准形

§6实对称矩阵的标准形 由第五章得到,任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵,换句话说,都有 一个可逆矩阵C使CC成对角形现在利用欧氏空间的理论,第五章中关于实对 称矩阵的结果可以加强这一节的主要结果是 对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T,使 TAT=T-lAT 成对角形 引理1设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数 对应于实对称矩阵A,在n维欧氏空间R上定义一个线性变换A如下 显然A在标准正交基 0 0 下的矩阵就是A 引理2设A是实对称矩阵,用的定义如上,则对任意a,B∈R”,有 (Aa,B)=(a,B), B(Aa)=aAB 定义12欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换 容易看出,对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵用对称变换来反 映实对称矩阵,一些性质可以看得更清楚 引理3设A是对称变换,V是-子空间,则V也是子空间 引理4设A是实对称矩阵,则R"中属于A的不同特征值的特征向量必正交

§6 实对称矩阵的标准形 由第五章得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有 一个可逆矩阵 C 使 CAC 成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对 称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是： 对于任意一个 n 级实对称矩阵 A ，都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使 T AT T AT −1  = 成对角形. 引理 1 设 A 是实对称矩阵，则 A 的特征值皆为实数. 对应于实对称矩阵 A ，在 n 维欧氏空间 n R 上定义一个线性变换 A 如下： A               =               n n x x x A x x x   2 1 2 1 . (1) 显然 A 在标准正交基               =               =               = 1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 1 2     n    (2) 下的矩阵就是 A . 引理 2 设 A 是实对称矩阵，A 的定义如上，则对任意 n ,   R ，有 (A  ,  )=(  ,A  ), (3) 或  (A) =A 定义 12 欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换. 容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反 映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚. 引理 3 设 A 是对称变换， V1 是 A-子空间，则 ⊥ V1 也是 A-子空间. 引理 4 设 A 是实对称矩阵，则 n R 中属于 A 的不同特征值的特征向量必正交

定理7对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T,使成 TT=T-AT对角形 下面来看看在给定了一个实对称矩阵A之后,按什么办法求正交矩阵T使 T4T成对角形在定理的证明中看到,矩阵A按(1)式在R中定义了一个线性变换 求正交矩阵T的问题就相当于在R"中求一组由A的特征向量构成的标准正交基 事实上,设 n 72 是R"的一组标准正交基,它们都是A的特征向量显然,由61,52,…,En到 7,72…;n的过渡矩阵就是 T T是一个正交矩阵,而 T AT= TAT 就是对角形 根据上面的讨论,正交矩阵T的求法可以按以下步骤进行: 1.求出A的特征值设A,…,λ是A的全部不同的特征值 2.对于每个λ,解齐次方程组 求出一个基础解系,这就是A的特征子空间V的一组基由这组基出发,按定理 2的方法求出V的一组标准正交基mn…,7

定理 7 对于任意一个 n 级实对称矩阵 A ，都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使成 T AT T AT −1  = 对角形. 下面来看看在给定了一个实对称矩阵 A 之后，按什么办法求正交矩阵 T 使 T AT 成对角形.在定理的证明中看到，矩阵 A 按(1)式在 n R 中定义了一个线性变换. 求正交矩阵 T 的问题就相当于在 n R 中求一组由 A 的特征向量构成的标准正交基. 事实上，设               =             =               = nn n n n n n t t t t t t t t t     2 1 2 22 12 2 1 21 11 1  , , ,  是 n R 的一组标准正交基，它们都是 A 的特征向量.显然，由 n  ,  , , 1 2  到   n , , , 1 2  的过渡矩阵就是               = n n nn n n t t t t t t t t t T       1 2 21 22 2 11 12 1 T 是一个正交矩阵，而 T AT = TAT −1 就是对角形. 根据上面的讨论，正交矩阵 T 的求法可以按以下步骤进行： 1. 求出 A 的特征值.设  r , , 1  是 A 的全部不同的特征值. 2. 对于每个 i ，解齐次方程组 ( ) 0 2 1 =               − n i x x x E A   求出一个基础解系，这就是 A 的特征子空间 i V 的一组基.由这组基出发，按定理 2 的方法求出 i V 的一组标准正交基 i i ik , , 1 

3.因为λ1…λ两两不同,所以根据这一节引理4,向量组 ηh13…η1,…,n3…,还是两两正交的又根据定理7以及第七章§5的讨论, 它们的个数就等于空间的维数因此,它们就构成R"的一组标准正交基,并且也 都是A的特征向量这样,正交矩阵T也就求出了 例己知 A 011 0-1 l01 求一正交矩阵T使TAT成对角形 应该指出,在定理7中,对于正交矩阵T我们还可以进一步要求 7=1 事实上,如果求得的正交矩阵T的行列式为-1,那么取 那么7=7S是正交矩阵,而且 显然TA71=TAT 如果线性替换 x,=CuV, ++.+Cun) x2=C2y1+c22y2+ xn=Cnly,+Cny2 +.+cny 的矩阵C=(n)是正交的,那么它就称为正交的线性替换正交的线性替换当然是 非退化的 用二次型的语言,定理7可以叙述为:

3. 因 为  r , , 1  两两不同，所以根据这一节引理 4 ， 向 量 组 r   k r rk , , , , , , 11  1 1  1  还是两两正交的.又根据定理 7 以及第七章§5 的讨论， 它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成 n R 的一组标准正交基，并且也 都是 A 的特征向量.这样，正交矩阵 T 也就求出了. 例 已知               − − − − = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A 求一正交矩阵 T 使 T AT 成对角形. 应该指出，在定理 7 中，对于正交矩阵 T 我们还可以进一步要求 T =1 事实上，如果求得的正交矩阵 T 的行列式为-1，那么取                − = 1 1 1 1  S 那么 T1 = TS 是正交矩阵，而且 T1 = T S =1 显然 T1 AT1 = TAT . 如果线性替换        = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 , ， 的矩阵 ( ) ij C = c 是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是 非退化的. 用二次型的语言，定理 7 可以叙述为：

定理8任意一个实二次型 X.x 都可以经过正交的线性替换变成平方和 1y2+2y2+…+n 其中平方项的系数λ1,A2,…,就是矩阵A的特征多项式全部的根 最后指出,这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方 程,以及讨论二次曲线的分类 在直角坐标系下,二次曲线的一般方程是 ax+ax+a x+2a23y2+2b1x+2b2y+2b2+d=0(5) 令 b A yl,b=b2 b 则(5)可以写成 XAX +2BX+d=0 经过转轴,坐标变换公式为 CiC12C13‖x 或者X=CX1 1 其中C为正交变换且=1,在新坐标系中,曲面的方程就是 X(CAC)X1+2(B'C)X,+ 根据上面的结果,有行列式为1的正交矩阵C使 20 0023 这就是说,可以作一个转轴,使曲面在新坐标系中的方程为 A1x2+2y2+13y2+2bx1+2b2y1+2b2=1

定理 8 任意一个实二次型 ij ji n i n j aij xi x j a = a = = , 1 1 都可以经过正交的线性替换变成平方和 2 2 2 2 2 1 1 n n  y +  y ++  y , 其中平方项的系数   n , , , 1 2  就是矩阵 A 的特征多项式全部的根. 最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方 程，以及讨论二次曲线的分类. 在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是 2 1 2 2 1 3 2 2 3 2 1 2 2 2 3 0 2 3 3 2 2 2 2 a1 1x + a x + a x + a x y + a x z + a yz + b x + b y + b z + d = (5) 令           =           =           = 3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 , , b b b B z y x X a a a a a a a a a A 则(5)可以写成 XAX + 2BX + d = 0 (6) 经过转轴，坐标变换公式为 , 1 1 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13                     =           z y x c c c c c c c c c z y x 或者 X = CX1 其中 C 为正交变换且 C = 1 ，在新坐标系中，曲面的方程就是 X1 (CAC)X1 + 2(BC)X1 + d = 0 根据上面的结果，有行列式为 1 的正交矩阵 C 使            = 3 2 1 0 0 0 0 0 0    C AC 这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为 2 2 2 1 0 * 1 3 * 1 2 * 1 2 3 1 2 2 1 2 1 x1 +  y +  y + b x + b y + b z + d =

(b,b2,b3)=(b1,b2,b3)C 这时,再按照λ,λ2,λ是否为零的情况,作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方 程化成标准方程譬如说,当,2,3全不为零时,就作移轴 y1=y2-2, 于是曲面的方程化为 λ1x2+2y2+1=2+d'=0 其中 4=d-2-2- nn 1

其中 (b ,b ,b ) (b1 ,b2 ,b3 )C * 3 * 2 * 1 = 这时，再按照 1 2 3  , , 是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方 程化成标准方程.譬如说，当 1 2 3  , , 全不为零时，就作移轴          = − = − = − . , , 3 * 3 1 2 2 * 2 1 2 1 * 1 1 2    b z z b y y b x x 于是曲面的方程化为 0 2 * 3 2 2 2 2 2 1 x2 +  y +  z + d = 其中 3 2* 3 2 2* 2 1 2* * 1    b b b d = d − − −