3.设总体X服从T分布，其概率密度为 Ba -xa-le-A,x >O; f(x;a,B)=I(a) 0,x≤0， 其中参数a>0,B>0若样本观测值1，x2,xn, (I)求参数a及的矩估计值； (2)已知a=ao,求参数的最大似然估计值。 年X)=EX)-月ae aiaa台e Br(a)B°
已 知 ，求参数 的最大似然估计值。 求参数 及 的矩估计值； 其中参数 若样本观测值 设总体 服 从 分 布 其概率密度为 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 3 = = − − ( ) ( ) , . , ,., , , , , ; ( ; , ) ( ) . , n x x x x x x e x f x X . ( ) ( ) t e dt ( ) e dt t ( ) x e dx ( ) x e dx ( ) v ( X ) E( X ) t t x t x x = + = = = = = = + − + − = + − + − 1 1 1 0 0 0 0 1 令 解 ：
B'r(a)B2 得方程组如下： nx? 2 (x,- 62 B i= n i=l ∑(x,-x
. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 0 1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 1 + = + = = = = = = + + − + − + = + + − + + − t e dt e dt t x e dx v X E X x e dx t t x t x x 令 得方程组如下： = − = = − = = + = = = = 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 ~ x ( x x ) nx ˆ ~ x ( x x ) nx ˆ x n ( ) x n i i n i i n i i
(2)已知a=a,求参数的最大似然估计值。 IT(a/n若 inL(B)=na,inB-ninr(a)(nxB 2-分-之-=-受 dβ
. x ˆ x n d d l nL( ) l nL( ) n l n nl n ( ) ( ) l n x x x e [ ( )] x e ( ) L( ) ( ) n i i n i i n i i x i n i n n x i n i i i 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 = − = = = − + − − = = = = = = − − = − − = 已 知 ，求参数 的最大似然估计值
4.设总体X~e(2),其中元>0，抽取样本X1,X2,Xm,证明： (1)虽然样本均值齪是的无偏估计量，但盛却不是的无偏 估计量2)统计量”，x是2的无偏估计量。 n+l 证明：1)E(X)=之E(X,)=元， n i=1 因此样本均值X是入的无偏估计量，但 E(X2)=D()+IE(X)/2 =空x及="对不是的无偏传计要。 2)EEX)= 故统计量”X是的无偏估计量。 n+1
估计量； 统计量 是 的无偏估计量。 虽然样本均值 是 的无偏估计量，但 却不是 的无偏 设总体 其 中 抽取样本 证明： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 0 X n n X X X e X X Xn + ( ) ( ) . ~ ( ), , , ,., , 故统计量 是 的无偏估计量。 不 是 的无偏估计量。 因此样本均值 是 的无偏估计量，但 证 明 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 X n n E( X ) . n n X n n ( )E n n X n D E( X ) D( X ) [ E( X )] X E( X ) , n : ( )E( X ) n i i n i i + = + = + + + = = = + = = = =