书本例子4.6合成运算是不可交换的11
11 ◼ 书本例子4.6 合成运算是不可交换的
关系基本运算的性质定理1设F是任意的关系，则(1) (F-1)-1=F(2) domF-1=ranF, ranF-1=domF证(1)任取<x,y>，由逆的定义有<x,V>E(F -1)-1<y,x>EF-1 <x,V>EF所以有(F-1)-1=F(2) 任取x,xE domF-1 台 3y(<x,y>E F-1)← y(<y,x>EF)xEranF所以有domF-1=ranF同理可证ranF-1=domF12
12 关系基本运算的性质 定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F−1 ) −1=F (2) domF−1=ranF, ranF−1=domF 证 (1) 任取<x,y>, 由逆的定义有 <x,y>∈(F − 1 ) −1 <y,x>∈F−1 <x,y>∈F 所以有 (F−1 ) −1=F (2) 任取x, x∈domF−1 y(<x,y>∈F−1 ) y(<y,x>∈F) x∈ranF 所以有domF−1= ranF. 同理可证 ranF−1 = domF
(续）关系基本运算的性质定理2设F,G,H是任意的关系,则(1) (FoG)H=Fo(GoH)(2) (FoG)-1= G-1oF-1证(1) 任取<x,>,<x,y>E(FoG)oH <3t(<x,t>E FoG^<t,y>EH) 3t(s(<x,S>EFA<s,t>EG)A<t,y>EH) 3t3s (<x,s>EF^<s,t>EG^<t,y>EH)台 3s (<x,s>EF^3t (<s,t>E G^<ty>EH) 3s (<x,S>EF^<S,>EGoH)台 <x,y>E Fo(GoH)所以 (FoG)oH= Fo(GoH)13
13 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G) −1= G−1∘F−1 证 (1) 任取<x,y>, <x,y>(F∘G)∘H t(<x,t>∈F∘G∧<t,y>∈H) t (s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈G∘H) <x,y>∈F∘(G∘H) 所以 (F∘G)∘H = F∘(G∘H) 关系基本运算的性质（续）
(续)关系基本运算的性质(2) 任取<x,>,<x,y>E(FoG)-1<y,x>EFoG台 t (<y,t>EFA(t,x)EG) 3t(<x,t>EG-1^(ty)EF-1)<x,y>EG-1oF-1所以(FoG)-1 = G-1oF-114
14 (2) 任取<x,y>, <x,y>∈(F∘G) −1 <y,x>∈F∘G t (<y,t>∈F∧(t,x)∈G) t (<x,t>∈G−1∧(t,y)∈F−1 ) <x,y>∈G−1∘F−1 所以 (F∘G) −1 = G−1∘F−1 关系基本运算的性质（续）
A上关系的幂运算设R为A上的关系.n为自然数.则R的n次幂定义为：(1) R°=[<x,x> [ xEA }=IA(2) Rn+1 = RnoR注意：对于A上的任何关系R,和R,都有R,°= R,°= IA对于A上的任何关系R都有R1= R15
15 A上关系的幂运算 设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为： (1) R0={<x,x> | x∈A }=IA (2) Rn+1 = Rn∘R 注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R1 0 = R2 0 = IA 对于A上的任何关系R 都有 R1 = R