中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 运算表不能表示 不可列的情况 定理64:个有可列个元素的单元半群的运算组合表, 每行(列)内容均不相等。 即没有完全相同 证明:设单元半群(S,,单位元为”的两行(列 对va,b∈S,当a≠砂时,有: ao1=a≠b=bo1 1oa=a≠b=1ob 因为每行(列)的第一个运算结果(和单位元运算) 都不相等,所以命题得证。 说明:对半群不一定成立,原因是该定理完全依赖于 单位元的存在
◼ 定理6.4：一个有可列个元素的单元半群的运算组合表， 每行（列）内容均不相等。 ( , ) 1 a, a a 1 1 1 1 S b S b a b b a a b b = = = = 证明：设单元半群 ，单位元为“” 对 ，当 时，有： 因为每行（列）的第一个运算结果（和单位元运算） 都不相等，所以命题得证。 说明：对半群不一定成立，原因是该定理完全依赖于 单位元的存在。 运算表不能表示 不可列的情况 即没有完全相同 的两行（列） 21
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China n定理65:一个单元半群(M,),如果存在一个 子系统(M,),且单位元1∈M,则(M,o)亦 是一个单元半群,称为(M,o)的子单元半群。 说明 子单元半群必须和原单元半群有相同的单位元; nA={1,2,345},a+b=max(ab),则单位元是1 取C={2,4},则(C,*)是单元半群,2为单位元,但 (C*)不是(A*)的子单元半群
◼ 定理6.5： ◼ 说明： ◼ 子单元半群必须和原单元半群有相同的单位元； ◼ A={1,2,3,4,5}，a*b=max(a,b)，则单位元是1； ◼ 取C={2,4}，则(C,*)是单元半群，2为单位元，但 (C,*)不是(A,*)的子单元半群。 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) M M M M M 一个单元半群 ，如果存在一个 子系统 ，且单位元 ，则 亦 是一个单元半群，称为 的子单元半群。 22
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China a定义66:一个单元半群如果由它的一个元素a 生成,(令a=1,故单位元也可以由a生成), 则称为由a生成的循环单元半群,a为生成元。 推广:有限集合M生成的单元半群,M为生成集。 定理66:个循环单元半群是一个可换单元半群 与“循环半群是可换半群”证明方法类似
◼ 定义6.6： ◼ 推广：有限集合M生成的单元半群，M为生成集。 ◼ 定理6.6： ◼ 与“循环半群是可换半群”证明方法类似。 0=1 a a a a a 一个单元半群如果由它的一个元素 生成，（令 ，故单位元也可以由 生成）， 则称为由 生成的循环单元半群， 为生成元。 一个循环单元半群是一个可换单元半群。 23
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 等幂元可能不止一个 n定理67:个可换单元半群的所有等幂元构成 个子单元半群。 证明:设(M,°)是可换单元半群,(M2o)的等幂元组成的 集合为M 由于单位元也是等幂元,因 此M非空,如果只有 (先证明(M9)是一个代数系统∠等幂元,很容易证明 设a,b∈M,由于a,b都是等幂元,即aoa=a,bb=b 可得(ab)(aob)=(aa)(bb)=ab-可交换、可结合 即a。b是等幂元,所以aob∈M封闭,(M’。)是代数系统; (2)于11=1,单位元也是等幂元,因此1∈M (3为McM,所以(M,)也是(M,)的一个子系统 且l∈M,由定理6.5可得(M′,o)是(M,)的子单元半群
◼ 定理6.7： 一个子单元半群。 一个可换单元半群的所有等幂元构成 ( , ) ( , ) (1) ( , ) a, a, , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) (2) 1 1 1 1 (3) ( , ) ( , ) M M M M b M b a a a b b b a b a b a a b b a b a b a b M M M M M M M = = = = = 证明：设 是可换单元半群， 的等幂元组成的 集合为 。 先证明 是一个代数系统 设 ，由于 都是等幂元，即 可得 即 也是等幂元，所以 封闭， 是代数系统； 由于 ，单位元也是等幂元，因此 因为 ，所以 也是 的 1 6.5 ( , ) ( , ) M M M 一个子系统， 且 ，由定理 可得 是 的子单元半群。 等幂元可能不止一个 可交换、可结合 由于单位元也是等幂元，因 此 M’非空，如果只有一个 等幂元，很容易证明。 24
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 定理68:一个单元半群的任一个子系统均可加上 单位元而构成一个子单元半群 补充定理:原代数系统的单位元 设(A,*)是半群,A为有限集合,则A*必存在等幂元 即有限半群必存在等幂元。 证明:A为有限集合,设A=n 任取va∈A,观察a,a2a n+1 由于4=n,并且“*”运算在A上封闭, 由鸽洞原理可知:a,a2,a3…,a"中至少有两个相等, 不妨设a=a,其中1≤k≤n 下面分三种情况考虑: 25
原代数系统的单位元 ◼ 定理6.8： ◼ 补充定理：一个单元半群的任一个子系统均可加上 单位元而构成一个子单元半群。 设( , ) ( , ) A A A 是半群， 为有限集合，则 中必存在等幂元。 即有限半群必存在等幂元。 2 3 1 2 3 1 n , , , , , n , , , , , 1 k n n i i k A A a A a a a a A A a a a a a a n + + + = = = 证明： 为有限集合，设 任取 ，观察 由于 ，并且“ ”运算在 上封闭， 由鸽洞原理可知： 中至少有两个相等， 不妨设 其中 下面分三种情况考虑： 25