第二节 第六章 定积分在几何学上的应用 平面图形的面积 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 *四、旋转体的侧面积补充 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 四、 旋转体的侧面积 (补充) 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六章
平面图形的面积 1直角坐标情形 yt y=f(x) 设曲线y=f(x)(0)与直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围曲 a x 边梯形面积为A,则 6 x xtd da=f(x)dx y=fi(x)y=f2(x) A=f(x)dx 右下图所示图形面积为 A=(x)-(x) dxo axx+dxb文 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 y a b x ( ) 2 ( ) y = f x 1 y = f x O 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 dA = f (x)dx A f x x b a ( )d = 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 A f x f x x b a ( ) ( ) d = 1 − 2 O a b x y y = f (x) x + dx x x x + d x
例1.计算两条抛物线y2=x,y=x2在第一象限听围 图形的面积 X 解:由 DX 得交点(0,0),(1,1) =X A=Lx-x2)dx y=x 231 x+d 0 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 图形的面积 . 解: 由 得交点 (0, 0) , (1,1) d A ( x x )dx 2 = − 3 1 = = 1 0 A x y O y = x 2 2 y = x x x + d x (1,1) 1
例2计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围图形 的面积 解:由 2=2X得交点 y=x y+dyl (8,4) (2,-2),(8,4 为简便计算选取y作积分变量,d x-4 则有 A=(y+4-5y2)dy +4 18 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 O y 2x 2 = y = x − 4 x y 例2. 计算抛物线 y 2x 2 = 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 (2, − 2) , (8, 4) (8,4) d A ( y 4 y )dy 2 2 1 = + − =18 y = x − 4 所围图形 (2,− 2) 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 − = 4 2 A y y + d y
X 例3.求椭圆-+ 1所围图形的面积 b 解:利用对称性,有dA=ydx A=4 lo vdr 利用椭圆的参数方程 Lxx+dya x x=acos t ly=bint (0≤t≤2m) 应用定积分换元法得 A=4 bint (asin)dt=4absin'tdt =4ab22=b当a=b时得圆面积公式 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 a b 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , d A = y dx 所围图形的面积 . 有 = a A y x 0 4 d 利用椭圆的参数方程 (0 2π) sin cos = = t y b t x a t 应用定积分换元法得 = 2 π 0 2 4ab sin t dt = 4ab 2 1 2 π = π ab 当 a = b 时得圆面积公式 x x + d x x y O