中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China (1)当讠=k时 则a=a=a*a,所以a为等幂元; 2)当i<k时,即ki>0 a=a=a*a,两边同左运算a-可得: a a三a k米a米a a =a xa 因为当k>0时,才有意义, 即ak是等幂元; 因为半群没有要求有逆元, 即:半群无负指数次幂
k k k k k 1 a a a a 2 i k k-i 0 a a a a , a a a a a a a a a , a i i i i i i i i k i k i i i i i k k k i k a + + − − − = = = = = = = （）当 时 则 ，所以 为等幂元； （ ）当 时，即 两边同左运算 可得： 即 是等幂元； 因为当k-i>0时，a k-i才有意义， 因为半群没有要求有逆元， 即：半群无负指数次幂。 26
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China (3)当i>k时 a=ak=a*a,两边同右运算a可得: 2k a*a三a半a"*a三a半a 可得a=a*a24就是转换成2)的情况(i 同样可得a=a'*a-,p为任意正整数, 取适当大的p,一这样的p定存在 使得pk>i,即pk-i>0, 从而有a*a=a-*a*a,即a=ap*a败 所以,a为等幂元
这样的p一定存在 k 2 2 p p -i p p p p p p 3 i a a a a , a a a a a a a a a a a a a a , p pk pk 0 a a a a a a a a a i i k i k i k i k k i k i i k i i k k i k i i k k k k k k p i i + − = = = = = = − = = （ ）当 时 两边同右运算 可得： 可得 同样可得 为任意正整数， 取适当大的 ， 使得 ，即 ， 从而有 ，即 所以， 为等幂元。 27 就是转换成(2)的情况(i<k)
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 二、群 1、群与群的同构 n定义6,7:一个代数系统(G,,如果满足下列条件: (1)结合律; (2)存在单位元; (3)对任意的∨a∈G,均al∈G, 且有aoa-1=a1oa=1 则此代数系统称为群 存在逆元 28
二、群 ◼ 1、群与群的同构 ◼ 定义6.7： （1）结合律； （2）存在单位元； （3） 则 此代数系统称为群。 一个代数系统( , ) G ，如果满足下列条件： 1 1 1 a a a a a a 1 G G − − − = = 对任意的 ，均 ， 且有 存在逆元 28
◎ 中学我术犬荸 说明: (1)群=单元半群+每个元素都有逆元 半群+单位元+每个元都有逆元 (2)由单位元素构成的代数系统是群; 只有一个元素 (3)(1,+)是群(整数集上加法),单位元是0,a的逆元是a (4(R×)于0不存在逆元,所以此系统只是单元半群,不是群, (R-0},×)是群,a的逆元是
1 2 3 ( , ) 0 a -a 4 ( , ) 0 1 ( - 0 , ) a IR R a = + = + + + 说明： （）群 单元半群 每个元素都有逆元 半群 单位元 每个元都有逆元 （ ）由单位元素构成的代数系统是群； （ ） 是群（整数集上加法），单位元是 ， 的逆元是 （ ） 由于 不存在逆元，所以此系统只是单元半群，不是群， 是群， 的逆元是 只有一个元素 29
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China (5)(NA,⑧)于0无逆元,因此不是群; (N-(0},③)在一般情况下也不是群; 例如:对(N6{0},⑧,2②63=0∈N6-{0} 即运算不封闭,所以N6-{0},不是群 问题:k取其它值, 思考:k值为6时,不是 有没有可能是群呢? 群的原因是什么? 当k为素数时,运算封闭,(N-{0),8)才是群 如(N7-{0),∞)是群】是单位元,的逆元是1 6的逆元是6,2与4互逆,3与5互逆 K为素数时,运算结果不会是0,运算才是封闭的
k k 6 6 6 6 6 6 5 ( , ) ( - 0 , ) ( - 0 , ) 2 3 0 - 0 ( - 0 , ) k k N N N N N = （ ） 由于0无逆元，因此不是群； 在一般情况下也不是群； 例如：对 ， 即运算不封闭，所以 不是群； 30 问题：k取其它值， 有没有可能是群呢？ k 7 7 k ( - 0 , ) ( - 0 , ) 1 1 1, 6 6 2 4 3 5 Nk N 当 为素数时，运算封闭， 才是群 如 是群，是单位元，的逆元是 的逆元是 ，与 互逆，与 互逆。 K为素数时，运算结果不会是0，运算才是封闭的 思考： k值为6时，不是 群的原因是什么？