中学我术犬荸 第六章群论 1958
第六章 群论
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 群论简介 群”是中最重要、最基本的代数系统 群”在抽象代数中具有基本的重要地位 ■许多代数结构,包括环、域和向量空间等可以看作是在群 的基础上添加新的运算和公理而形成的。 群”的概念在数学的许多分支都有出现,而且群 论的硏究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。 群论的重要性还体现在物理学和化学的硏究中 许多不同的物理结构,如晶体结构和氢原子结构可以用群 论方法来进行建模
群论简介 ◼ “群”是中最重要、最基本的代数系统； ◼ “群” 在抽象代数中具有基本的重要地位； ◼ 许多代数结构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群 的基础上添加新的运算和公理而形成的。 ◼ “群”的概念在数学的许多分支都有出现，而且群 论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。 ◼ 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中； ◼ 许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群 论方法来进行建模
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 群论产生的历史背景 方程的根式解法发展过程 元二次方程 21040 古巴比伦数学和印度人能够用根式求解; 三次数字方程 古希腊人和古东方人:能求解某些特殊的三次数字方程,但没有得 到三次方程的一般解法。 文艺复兴的极盛期(即16世纪初)由意大利人解决。 四次方程:意大利人费尔拉里求解出; 五次和五次以上方程 以后的几个世纪里,一般公式解法却一直没有得到结果
群论产生的历史背景 ◼ 方程的根式解法发展过程 ◼ 一元二次方程 ◼ 古巴比伦数学和印度人能够用根式求解； ◼ 三次数字方程 ◼ 古希腊人和古东方人：能求解某些特殊的三次数字方程，但没有得 到三次方程的一般解法。 ◼ 文艺复兴的极盛期（即16世纪初）由意大利人解决。 ◼ 四次方程：意大利人费尔拉里求解出； ◼ 五次和五次以上方程 ◼ 以后的几个世纪里，一般公式解法却一直没有得到结果。 3
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 1770年前后,法国数学家拉格朗日转变代数的思维 方法提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的 关键所在,他的工作有力地促进了代数方程论的进 步。 但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解 于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n 次方程的代数解法时也遭失败,从而认识到一般的 四次以上代数方程不可能有根式解。 他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启 示。相继鲁菲尼和高斯都在这方面进行了研究
◼ 1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维 方法提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的 关键所在，他的工作有力地促进了代数方程论的进 步。 ◼ 但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解， 于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n 次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的 四次以上代数方程不可能有根式解。 ◼ 他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启 示。相继鲁菲尼和高斯都在这方面进行了研究. 4
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 1824年到1826年,挪威数学家阿贝尔提出阿贝尔定理:一般 高于四次的方程不可能代数求解。 ■在高斯分圆方程可解性理论的基础上,他解决了任意次的一类特殊方 程的可解性问题,在硏究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果 只是阿尔没能意识到,也没有明确地构造方程根的置换集合。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题,却没能解决判 定已知方程是否可用根式求解的问题。 法国数学家伽罗瓦在阿贝尔工作基础上,提出了群的概念, 用群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问题,而且由此 发展了一整套关于群和域的理论,称为伽罗瓦理论。 ■这个理论可以推导出五次以上的一般代数方程根式不可解以及用圆规、 直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。 个方程根式可解当且仅当其伽罗瓦群是可解群
◼ 1824年到1826年，挪威数学家阿贝尔提出阿贝尔定理：一般 高于四次的方程不可能代数求解。 ◼ 在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方 程的可解性问题，在研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果， 只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合。 ◼ 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判 定已知方程是否可用根式求解的问题。 ◼ 法国数学家伽罗瓦在阿贝尔工作基础上，提出了群的概念， 用群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此 发展了一整套关于群和域的理论，称为伽罗瓦理论。 ◼ 这个理论可以推导出五次以上的一般代数方程根式不可解以及用圆规、 直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。 5 一个方程根式可解当且仅当其伽罗瓦群是可解群