中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 因为M是a的所有幂的集合 算 (M)为代数系统 在M上封闭 ②M非空「结合律+代数系统}(M)是(S,o)子半群 结合律 半群 ④McS 因为:M中元素均可由某个元素生成 所以:(M)是由该元素生成的循环子半群 6
因为M是a的所有幂的集合 ① 运算“◦” 在M上封闭 ② M非空 ③ 结合律 ④ ( ) M ，为代数系统 M S ( ) ( , ) M S ，是 的子半群 ( ) M M 因为： 中元素均可由某个元素生成， 所以： ，是由该元素生成的循环子半群 结合律＋代数系统 ＝半群 16
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 2、单元半群 n定义64: 设代数系统(M,),其中“”为二元运算,它满足 结合律,并且存在单位元,则代数系统(M,o)称为单元 半群,即具有单位元的半群。如果一个单元半群满足交 换律则称为可换单元半群 也称为独异点 17
也称为独异点 ◼ 2、单元半群 ◼ 定义6.4： ( , ) ( , ) M M 设代数系统 ，其中“”为二元运算，它满足 结合律，并且存在单位元，则代数系统 称为单元 半群，即具有单位元的半群。如果一个单元半群满足交 换律，则称为可换单元半群。 17
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 例64 整数集/上的模n同余关系R可划分等价类: []2[2[2]a[m-1]。 Zm=R={0212{2]2…[m-1 在Zm上定义二元关系+m及xm,对[2[d2∈Zm有 山]2+a[2=[(i+)(modm)]a 可验证都满 山]2×[2=[(×(modm)]足结合律 则Zn+n)和Zn,xn)均是单元半群 (Zm+m)单位元是[k22m,xm)单位元是[!l 18
◼ 例6.4： 整数集I m R 上的模 同余关系 可划分等价类： 0 , 1 , 2 , , 1 R R R R m− ( )( ) ( )( ) m m m m m m m m 0 , 1 , 2 , , 1 + i , j i + j i j mod i j i j mod ( , ) ( , ) ( ,+ ) 0 ( , ) 1 m R R R R m m R R R R R R R R m m m m R R I R m m m = = − = + = + 在 上定义二元关系 及 ，对 有： 则 和 均是单元半群。 单位元是 ， 单位元是 可验证都满 足结合律 18
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 例6.5 由有限字母集合X所组成的字母串 集合X,与并置运算所组成的代数系统 (X",o)是单元半群。 结合律:满足 不满足交换律 单位元:(空串) 令X=X"-{^,则X+,是半群,因为运算 封闭且满足结合律 不是单元半群,因为(X+,。没有单位元。 19
◼ 例6.5： ( , ) X X X 由有限字母集合 所组成的字母串 集合 ,与并置运算所组成的代数系统 是单元半群。 - ( , ) ( , ) X X X X + + + = 结合律：满足 单位元：（空串） 令 ，则 是半群，因为运算 封闭且满足结合律。 不是单元半群，因为 没有单位元。 不满足交换律 19
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 半群扩充为单元半群 (S,9)→(S∪(,)1gS 如果存在1gS,但满足: n(2)对任意x∈S,10x=x01=x 则(S(l},)为单元半群
◼ (1 ) ◼ (2 ) ( , ) ( 1 , ) 1 1 S S S S → 半群扩充为单元半群： 如果存在 ，但满足： 对任意x S x x x = = ， 1 1 则（S 1，）为单元半群。 1 1 = 1 20