上海中医药大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 定积分及其应用

第五章 定积分及其应用 定积分的概念 二 定积分的简单性质 定积分的计算 四 定积分的应用 五 广义积分和Γ函数

第五章 定积分及其应用

背景来源——面积的计算 我们可以用大大小小的矩形 !矩形的面积定义为两直角边长度的乘积将图形不断填充,但闪烁部分永 远不可能恰好为矩形,这些“边 角余料”无外乎是右图所示的 典型图形”(必要时可旋转) “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分

背景来源——面积的计算 ！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 我们可以用大大小小的矩形 将图形不断填充，但闪烁部分永 远不可能恰好为矩形，这些“边 角余料”无外乎是右图所示的 “典型图形”（必要时可旋转） “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分

517定积分的念 5.1.1两个实际问题 矩形面积=ah 梯形面积=(a+b) 1.曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线y y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0) 及x轴,以及两直线x=a,x=b 所围成,求其面积A X

1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y  f (x) ( f (x)  0) 及 x轴，以及两直线 x  a, x  b 所围成 , 求其面积 A . A  ? y  f (x) 矩形面积 a h  a h a h 梯形面积 ( ) b 2 a b h   5.1.1 定积分的概念

解决步骤 1)分割.在区间[a,b中任意插入n-1个分点 a=x<X<X<…<x_1< 用直线x=x1将曲边梯形分成n个小曲边梯形; 2)近似.在第个窄曲边梯形上任取ξ;∈[x2-1,x 作以[x1,x为底,f(5)y 为高的小矩形,并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△A1,得0axx1xbX △4≈f(51)A7(x1=x1-x1,=1,2…,n) 机动目录上页下页返回结束

1x i x i1 a x b x y o 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b  0  1  2  n1  n  [ , ] i i 1 i x x    用直线 i x  x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以[ , ] i 1 i x x  为底 , ( ) i f  为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 , Ai 得 ( ) ( )  i  i  i  i  i  i1 A f  x x x x , i 1,2,,n )  i 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3)求和。 A=∑M41≈∑f(51) 4)取极限.令=max{x;},则曲边梯形面积 1≤i<n A=lim∑△4 1im∑f(21)Ax o a x x bx 机动目录上页下页返回结束

    n i A Ai 1     n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 max{ }, 1 i i n  x    则曲边梯形面积      n i A Ai 1 0 lim       n i i i f x 1 0 lim ( )  机动 目录 上页 下页 返回 结束 a b x y o 1x i x i1 x  i