《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 格林公式及其应用

第三节 第十一章 格林公式及其应用 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 全微分方程

第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 格林公式及其应用 第十一章 *三、全微分方程

格林公式 区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线 所围成的部分都属于D,则称D为平面单连 通区域;否则称为复连通区域 D D 单连通区域 复连通区域 无“洞”(包含点洞区域)(有“洞”(包含点洞区域

一、 格林公式 单连通区域 复连通区域 区域连通性的分类 设 D 为平面区域, 如果 D内任一闭曲线 所围成的部分都属于 D, 则称 D 为平面单连 通区域; 否则称为复连通区域 . D D ( 无“洞”(包含点洞)区域 ) ( 有“洞”(包含点洞)区域 )

规定:平面区域D的边界曲线L的正方向? (负方向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左侧 (右侧 D D

平面区域 D的边界曲线L的正方向 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左侧. (负方向) ? (右侧) D D 规定:

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数 P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数则有 d Or o, )dxdy=d, Pdx+ody 其中L是D的取正方向的边界曲线 另一种记法: Green公式 00 aP Pax +Od

定理1 则有          L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) Green 公式 函数 . L D dxdy Pdx Qdy x y P Q         另一种记法 :

分析: 00 aP 待证表达式 dcy=Pax+Q小y ax a 等价于证明 00 aP dxdy=b edy dxdy=kPdx O Y型区域 X型区域 既X又Y型 单连通 证明依赖于区域的形状 一般区域 复连通

         L D dxdy Pdx Qdy y P x Q 待证表达式 ( )      L D dxdy Qdy x Q       L D dxdy Pdx y P 等价于证明 Y型区域 X型区域 分析： 证明依赖于区域的形状 单连通 复连通  既 X又 Y型 一般区域