南京大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）集合论——集合及其运算

集合及其运算 离散数学一集合论 ●●●●● 南京大学计算机科学与技术系

集合及其运算 离散数学－集合论 南京大学计算机科学与技术系

提要 ●基本概念 ●集合及其描述 ●集合相等、子集关系 ●幂集、笛卡尔乘积 ●集合运算 ●交并补、广义交、广义并 ●集合恒等式 ●集合相关命题的证明方式 ●自然数的构造

提要 ⚫ 基本概念 ⚫ 集合及其描述 ⚫ 集合相等、子集关系 ⚫ 幂集、笛卡尔乘积 ⚫ 集合运算 ⚫ 交并补、广义交、广义并 ⚫ 集合恒等式 ⚫ 集合相关命题的证明方式 ⚫ 自然数的构造

集合的定义 集合没有明确的定义,G. Cantor给出了一种刻划: 吾人直观或思维之对象,如为相异而确定之物,其总括 之全体即谓之集合,其组成此集合之物谓之集合之元素。 通常用大写字母表示集合,如A、B、C等,用小写字母表 示元素,如a、b、c等。若集合A系由a、b、c等诸元素所 组成,则表如A={a,b,c,…},而a为A之元素,亦常用a∈ A之记号表之者,a非A之元素,则记如a∈A。 (肖文灿译于1939年,《集合论初步》,商务印书馆) Naive set theory,朴素集合论

集合的定义 ⚫ 直观的定义 ⚫ 一个集合是一组无序的对象，这些对象称为这个集合的元 素或成员。 ⚫ aA表示a是集合A的一个成员， aA 表示a不是A的成员。 ⚫ Georg Cantor的描述 ⚫ [English translation] A set is a collection into a whole of definite, distinct objects of our intuition or our thought. The objects are called elements (member) of the set. Naïve set theory，朴素集合论

集合的描述 ●外延法:罗列、枚举 Va, e, i,o, u 1,3,5,7,9} ●概括法: ●{x|P(x)},P:某种思维、观察中总结出的对象性质 ●a∈{x|P(x)}→P(a) 例:z={x∈Z|x>0},Q={pq|p∈Z,q∈Z,q0} [a,b]={X∈R|a≤x≤b}

集合的描述 ⚫ 外延法：罗列、枚举 ⚫ V={a, e, i, o, u} ⚫ {1, 3, 5, 7, 9} ⚫ 概括法： ⚫ {x | P(x)}, P ：某种思维、观察中总结出的对象性质 ⚫ a{x | P(x)} ↔ P(a) ⚫ 例： +={x | x>0}，Q= { p/q | p , q, q0}， ▪ [a, b]={xR | axb}

集合 B) 文氏E 100 1203030 D) R B 70 60 40∵75 30 20 5

集合的描述 ⚫ 文氏图（Venn diagrams ）//John Venn U V a e o i u