中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 子集、运算相 n定理61 同,且封闭 个半群(S,。,如果它有一个子代数系统 (M,),则该子代数也是一个半群。 满足半群的条件,并且结合律保持 n定义62 个半群(S,,它的子代数系统(M, 亦是一个半群,则称为半群(S,)舶子半群 不能说只要是子代数系统就是子半群 n例2:(N6,⊕)是半群,令B={0,2,4}, 则(B⊕)是(N,⊕)的子半群
◼ 定理6.1 ： ◼ 定义6.2： ◼ 例2： 6 6 6 6 6 , {0 2 4} ) , N B B N = （ ）是半群，令 ，，， 则（ ， 是（ ）的子半群。 ( , ) ( , ) S M 一个半群 ，如果它有一个子代数系统 ，则该子代数也是一个半群。 ( , ), ( , ) ( , ) S M S 一个半群 它的子代数系统 亦是一个半群，则称为半群 的子半群。 子集、运算相 同，且封闭 满足半群的条件，并且结合律保持 11 不能说只要是子代数系统就是子半群
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China n等幂元 由于半群(S,o)中的运算满足结合律,则对于半群 中元素都可以定义幂运算: a"= dabao∴oa,a∈S 如果,彐a∈S,且有a2元a,则称a为(S,)的等幂元。 定义63 则一定有a=a 半群(S,,如果它的每个元素均为集合内某 固定元素a的某一方幂,则此半群叫做由a所生成的 循环半群,而此元素a称为半群(S,)的生成元素
◼ 等幂元： ◼ 定义6.3： 2 ( , ) a , ( ) n n S a a a a a S a S a a a S = = 个 由于半群 中的运算满足结合律，则对于半群 中元素都可以定义幂运算： ， 如果， 且有 ，则称 为 ，的等幂元。 ( ) a a ( , ) S S a S 半群 ，，如果它的每个元素均为集合 内某一 固定元素 的某一方幂，则此半群叫做由 所生成的 循环半群，而此元素 称为半群 的生成元素。 则一定有a n=a 12
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 推广 若一个半群它的生成元素不是一个,而是 有限个元素,它们组成集合M,则此半群为由 集合M生产的半群,集合M称为生成集。 对于有限集合,可能a,a2,…,a都是生成元; 对于无限集合,只能是a,因为不会有a=a,>1 13
◼ 推广： M M M 若一个半群它的生成元素不是一个，而是 有限个元素，它们组成集合 ，则此半群为由 集合 生产的半群，集合 称为生成集。 对于有限集合，可能a 1 ,a2 ,…,an都是生成元； 对于无限集合，只能是a，因为不会有a i=a,i>1 13
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China n例3:代数系统(Z,+)Z为整数集。则(乙,+) 为循环半群,生成元为1。因为任何元素都可以 由生成: 2=1+1=12,3=2+1=13,n=1 定理62:一个循环半群一定是可换半群。 证明:设循环半群(S,)生成元是a,则对任意两个 元素b,c∈S均有,b=am,c=a boc=amoa=a m+n oa=cob 加法运算满足交换律
◼ 例6.3： ◼ 定理6.2： 2 3 n ( , ) ( , ) 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 1 n + + + + + = + = = + = = 代数系统 中 为整数集。则 为循环半群，生成元为 。因为任何元素都可以 由 生成： ， ， 一个循环半群一定是可换半群。 n ( , ) a, b, b , c m n m n m n m S c S a c a b c a a a a a b + = = = = = = 证明：设循环半群 生成元是 则对任意两个 元素 均有， 14 加法运算满足交换律
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China n定理63 个半群内的任意一个元素和它所有的幂组成 个由该元素生成的循环子半群。 这个元素不一定是半群的生成元,这个元素 可能是a2,而生成元a不一定能由a生成 证明 设(S,9是一个半群,则有它的任一元素a∈S及 它的幂组成的集合为M={aa2…,an 首先,验证(M,)为代数系统。 15
◼ 定理6.3： 一个半群内的任意一个元素和它所有的幂组成 一个由该元素生成的循环子半群。 2 ( , ) , , , , ( , ) n S a S M a a a M = 证明： 设 是一个半群，则有它的任一元素 及 它的幂组成的集合为 首先，验证 为代数系统。 这个元素不一定是半群的生成元，这个元素 可能是a 2，而生成元a不一定能由a 2生成 15