中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 群论″最早考虑的是五次以上方程解法的问题 但是今天它的应用场合已被大大拓展,最大用途是 关于“对称性”的研究,所有具有对称性的东西, 群论都能派上用场。 只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变,就 是对称的。 几何体当然可以是对称的:一个圆左右翻转后还是圆,旋 转180度后还是圆,所以它在这两种变换下是对称的。 n非几何体的抽象概念:比如〔xyz)=x^2+y^2+z^2这个函数 无论怎么调换x、y、z的位置,都是不变的;或者sin(t), 用t2π代替t,也是不变的。 6
◼ “群论”最早考虑的是五次以上方程解法的问题， 但是今天它的应用场合已被大大拓展，最大用途是 关于“对称性”的研究，所有具有对称性的东西， 群论都能派上用场。 ◼ 只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变，就 是对称的。 ◼ 几何体当然可以是对称的：一个圆左右翻转后还是圆，旋 转180度后还是圆，所以它在这两种变换下是对称的。 ◼ 非几何体的抽象概念：比如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2这个函数， 无论怎么调换x、y、z的位置，都是不变的；或者sin(t)， 用t+2π代替t，也是不变的。 6
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 对称性最为神奇的一点:和物理世界中的守恒——对应。 ■物理学定律是不因时间的流逝而改变的,换言之它在时间变换下对称 而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一:能量守恒 ■物理学定律又不随着空间的位置而改变,这个对称性又能推出另一条 同样关键的定律:动量守恒。 二十世纪最伟大的数学家之一艾米诺特( Emmy Noether)女士发现 每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性。 现代粒子物理学是完全依赖于群论而存在的。种类繁多 的新粒子之所以能够被整齐归入标准模型,都是因为对 称性研究的功劳;事实上,相当多的新粒子是先被群论 预测出来,再被实验发现的。 化学和生物学也是离不开群论的——分子和晶体里有太 多的对称性了,没有群论就没法处理它们的结构和行为。 7
◼ 对称性最为神奇的一点：和物理世界中的守恒一一对应。 ◼ 物理学定律是不因时间的流逝而改变的，换言之它在时间变换下对称； 而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一：能量守恒； ◼ 物理学定律又不随着空间的位置而改变，这个对称性又能推出另一条 同样关键的定律：动量守恒。 ◼ 二十世纪最伟大的数学家之一艾米·诺特（Emmy Noether）女士发现： 每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性。 7 • 现代粒子物理学是完全依赖于群论而存在的。种类繁多 的新粒子之所以能够被整齐归入标准模型，都是因为对 称性研究的功劳；事实上，相当多的新粒子是先被群论 预测出来，再被实验发现的。 • 化学和生物学也是离不开群论的——分子和晶体里有太 多的对称性了，没有群论就没法处理它们的结构和行为
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 、半群与单元半群 半群 定义6.1: 设有一个代数系(S)其中“。”是元运算 且该运算符合结合律则称此系统为半群。如果 个半群满足交换律,则称为可换半群或者交换半群。 个条件: 代数系统+二元运算+结合律 8
一、半群与单元半群 ◼ 1、半群 ◼ 定义6.1： 设有一个代数系统( ) S，，其中“ ”是二元运算， 且该运算符合结合律，则称此系统为半群。如果一 个半群满足交换律，则称为可换半群或者交换半群。 ◼ 三个条件： ◼ 代数系统＋二元运算＋结合律； 8
中学我术犬荸 University of Science and Technoiogy of China 例 (l,*),为整数集合,a*b=a+b-mb 证明(,*)为半群。 n跟包含排斥原理的形式很相似 证明: (1)首先证明(I,*)为代数系统。 :非空集合,“*”:二元运算并且封闭, 因此,(Ⅰ,*)为代数系统
1 ,* , * I I I 证明： （）首先证明（ ）为代数系统。 ：非空集合，“ ”：二元运算并且封闭， 因此，（ ）为代数系统。 ( , ), a , ( , ) I I b a b ab I = + − 为整数集合， 证明 为半群。 ◼ 例： ◼ 跟包含排斥原理的形式很相似。 9
中学我术犬荸 (2)验证结合律 Va.b,C∈l, (a*b)c=(a+b-ab)*c =a+b-ab+c-(a+b-ab)c =atb+c-ab-ac-bc+abc a*(6*c)=a*(6+C-bc) a+b+c-bc-a(b+c-bc) a+6+c-ab-ac-bC+abc 即:(a*b)*C=a*(b*C) 所以(1,*)为半群。 另外,可验证*满足交换律,所以(1,*)为可换半群
2 a, , ( * )* ( )* ( ) *( * ) *( ) ( ) ( * )* *( * ) ( , ) * ( , ) b c I a b c a b ab c a b ab c a b ab c a b c ab ac bc abc a b c a b c bc a b c bc a b c bc a b c ab ac bc abc a b c a b c I I = + − = + − + − + − = + + − − − + = + − = + + − − + − = + + − − − + = （ ）验证结合律 ， 即： 所以 为半群。 另外，可验证 满足交换律，所以 为可换半群。 10