‖Al=max∑|an(列和范数) 对任何x=1 Ax=∑∑x∑∑cn|lx ∑x2q|max∑lank, 从而x1max∑an copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
16 上一页 下一页 对任何 1 x = 1 1 1 1 1 1 | | | | | | n n n n ij j ij j i j i j Ax a x a x = = = = = 1 1 1 1 | | | | max | | , n n n j ij ij j j i i x a a x = = = = 从而 1 1 max | | n ij j i Ax a = = = n i A aij j n 1 1 || || max | | 1 （列和范数）
现设 max ∑|a=∑ak i=1 若j= 令=10,若)≠ 显然y=(12,…,yn)满足‖yl1=1 且mx4x124y=∑∑qy ∑ak|=ma∑ i=1 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
17 上一页 下一页 现设 1 1 max | | | | n n ij ik j i i a a = = = 令 1, , 0, , j j k y j k = = 若 若 1 2 ( , , , )T n 显然 y y y y = 1 满足 y = 1 1 1 1 1 1 1 max | | n n ij j x i j Ax Ay a y = = = 且 = 1 1 | | max | | n n ik ij j i i a a = = = =
例已知矩阵A1-2 求‖4‖,p=1,2,∞ P 解:按定义‖4=64l=7 3Y1-2 10-14 AA= 24 34 1420 aI-ATAl 元-1014 A2-30+4=0 142-20 →元=15±√221 1=√以(44)=√5+√22546, 18 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
18 上一页 下一页 1 3 1 2 10 14 2 4 3 4 14 20 T A A − − − = = − − − 2 10 14 30 4 0 14 20 T I A A − − = = − + = − = 15 221 2 ( ) 15 221 5.46, T A A A = = + 解： 1 A = 6 A 7 按定义 = 例 已知矩阵 1 2 , 3 4 A − = − , 1,2, p 求 A p =
注: Frobenius范数不是从属范数。 G我们只关心有相军性的范数,从属范数总是相容的。 即使中元素全为数,其特征根和相应特征向量 仍可能是复数。将上中绝对值换成复数模均成立。 ‖Ix 量范数 n=‖lF≠max X意成立。 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
19 上一页 下一页 注： Frobenius 范数不是从属范数。 我们只关心有相容性的范数，从属范数总是相容的。 即使 A中元素全为实数，其特征根和相应特征向量 仍可能是复数。将上述定义中绝对值换成复数模均成立。 若不然，则必存在某个向量范数 || · ||v 使得 对任意A 成立。 v v F x Ax A x || || || || || || max 0 = 反例? 1 || || || || || || max 0 = = v v F x I x n I x
矩阵范数的等价定理: 对yA4在常数和m使得: l4ls5|4l≤M‖ B B 几种常用范数的等价关系: F ‖4s42sm < ≤√n4 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
20 上一页 下一页 矩阵范数的等价定理： A A 对 、 ，存在常数 和 m ，使得： M m A A M A 几种常用范数的等价关系： 2 2 F A A n A 2 1 A A n A n 1 2 1 1 A A n A n