故x耐,(*)成立 当x时0,(*)显然成立 证毕 对于常用的范数 lp以算出 √厅 x!≤x‖l≤r ≤‖x≤ Ill l]sinx copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
11 上一页 下一页 故 x 时， 0 （*）成立 当 x 时，（ = 0 *）显然成立 证毕 对于常用的范数 x , , p p = 可以算出 1,2, 1 2 1 1 x x x n 1 x x n x 2 x x n x
>向量序列的收敛性 定义向量序列{x收敛于向量x是指对每一个1≤;≤m都 有lmx)=x。可以理解为‖“)-、*→0 可以理解为对任何向 量范数都成立 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
12 上一页 下一页 定义 向量序列 收敛于向量 是指对每一个 1 i n 都 有 。 { } (k ) x x* ( ) * lim i k i k x = x → 可以理解为 || *|| 0 x (k ) − x → 可以理解为对任何向 量范数都成立。 ➢ 向量序列的收敛性
> Krylov子空间 定义 给定向量和矩阵A,我们称由向量 A 05410 0 张成的线性子空间为关于和A的k维 Krylov子空间, 记为K(A,,k) K(A, ro k)=span ra Ar0,Ar02…,H Krylovⅴ子空间是投影类方法中的一个很重要的概念 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
13 上一页 下一页 ➢ Krylov子空间 定义 2 1 0 0 0 0 , , , , k r Ar A r A r − 2 1 0 0 0 0 0 ( , , ) , , , , k K A r k span r Ar A r A r − = 0 给定向量 r 和矩阵 A ,我们称由向量 0 张成的线性子空间为关于 r 和 A 的 k 维Krylov子空间, Krylov子空间是投影类方法中的一个很重要的概念. 0 记为 K A r k ( , , ) 即
矩阵范数 定义Rm空间的矩阵范数对任意4B足: (1)‖A‖0;‖A=0分A=0(正定性) (2)|aA‖=|al·A对任意a∈C(齐次性) (3)‖4+BsA+‖B‖(三角不等式) (4)‖AB‖≤‖A‖·‖B‖(相容性,当m=n时) 注:一般来说,如果下面的关系式成立 ‖ AB s‖Ala:l‖Bg 则三种范数称为是相容的 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 下一页
14 上一页 下一页 ➢ 矩阵范数 定义 Rmn空间的矩阵范数 || · || 对任意 满足： m n A B R , (1) || A|| 0 ; || A|| = 0 A = 0 （正定性 ) (2) || A|| = | | || A|| 对任意 C (齐次性 ) (3) || A+ B || || A|| + || B || （三角不等式 ) (4)* || AB || || A || · || B || （相容性， 当 m = n 时) 注：一般来说，如果下面的关系式成立 || AB || || A || · || B || , 则三种范数称为是相容的
纔常用矩阵范数: Frobenius范数‖Ar=∑∑an一向量的直接推广 对方阵A∈Rm以及x∈R"有‖Ax|2s‖Al‖lxl2 从属范数 Ax 由向量范数导出类y不等式数: 141=4=到线到则两1p P 矩阵AA的最大≤Al 特征根 特别有:‖4|2=mx∠ l41=maxz1(列和范数) lsjs Al2=ym、(AA)(谱范数) copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
15 上一页 下一页 常用矩阵范数： Frobenius 范数 = = = n i n j A F aij 1 1 2 || || | | — 向量|| · ||2的直接推广 对方阵 A R nn 以及 x R n 有 2 2 || Ax || || A|| || x || F 利用Cauchy 不等式 | x y | || x ||2 || y ||2 可证。 从属范数 由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: p x p p p Ax x Ax A p x max || || || || || || || || max 0 | | | | 1 = = = 则 p p p p p p Ax A x AB A B || || || || || || || || || || || || 特别有： = = n j A aij i n 1 || || max | | 1 （行和范数） = = n i A aij j n 1 1 || || max | | 1 （列和范数） || || ( ) A 2 max A A T = （谱范数） 矩阵 ATA 的最大 特征根 1 2 2 2 1 ( , , , ) ( ) T n n i i Ax x x x Ax x = = =