例2.求 Φ (2x-y+ 4)dx+ (3x+ 5y- 6)dy,L:(0,0)、(3,0)、(3,2)为顶点的三角形的边界，顺时针方向。(3,2)解记相应三角域为D。用格林公式。QQdp(x -%)dxdy原式=一DJ-aD0(0,0)(3,0)= -12= -4|DI4dxdy-JD例3用格林公式易证：xOy面上有界闭区域D的面积xdy - ydx.三[DI= / xdyydx=-/ 6/23
例2. 求 ර (2𝑥 − 𝑦 + 4)dx + (3𝑥 + 5𝑦 − 6)dy, 𝐿: (0,0)、(3,0)、(3,2)为顶点的三角形的边界，顺 时针方向。 解 用格林公式。 原式 = 记相应三角域为𝐷。 = −ඵ 𝐷 ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ර )dxdy −𝜕𝐷 = −ඵ 𝐷 4dxdy = −4|𝐷| = −12 例3 用格林公式易证：xOy面上有界闭区域𝐷的面积 |𝐷| = න xdy = − න ydx = 1 2 න xdy − ydx . 𝑂(0,0) (3,0) (3,2) 𝐷 6/23
四个等价结论二、 1、平面区域连通性的分类如果平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都于D,则称D为单连通区域；否则称为复连通区域单连通区域复连通区域7/23
二、四个等价结论 如果平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都于 D， 则称D为单连通区域； 否则称为复连通区域。 单连通区域 复连通区域 D D 1、平面区域连通性的分类 7/23
2、用格林公式导出的四个等价结论设D为单连通区域，P(x,y)、Q(x,y)EC推论那么，下面四条等价：apaQ在D上，1)axay2）对v闭路LcD，有ΦPdx+Qdy=0;3）在D上Pdx+Qdy与路径无关；在D上，Pdx+Qdy是某个函数的全微分4即有原函数Pdx+Qdy是一个原函数）8/23
设𝐷为单连通区域， 𝑃(𝑥, 𝑦)、𝑄(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶𝐷 1 ， 推论 那么，下面四条等价： 2、用格林公式导出的四个等价结论 1) 在𝐷上， 𝜕𝑄 𝜕𝑥 ≡ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ； 2) 对∀闭路𝐿 ⊂ 𝐷， 有ර Pdx + Qdy = 0 ； 3) 在𝐷上， න Pdx + Qdy与路径无关； 4) 在𝐷上， Pdx + Qdy是某个函数的全微分， 即有原函数 （න Pdx + Qdy是一个原函数）. 8/23