《高等数学》Ⅱ一I课程教案 第六章定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问 题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运 用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 教学目标与基本要求 使学生掌握定积分计算基本技巧:使学生用所学的定积分的微元法 (元素法)去解决各种领域中的一些实际问题 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作 功、引力、压力及函数的平均值等) 、本章各节教学内容及学时分配 第一节定积分的元素法 1课时 第二节定积分在几何学上的应用3课时 第三节定积分在物理学上的应用2课时 、本章教学内容的重点难点: 找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式 解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 四、本章教学内容的深化和拓宽: 指导学生用元素法解决其本专业的实际问题。 五、本章的思考题和习题: 第二节279页习题6-22,(1)、(3);3,4,5,11,12,19,25,28。 第三节287页习题6-31,3,4,5,11。 第一节定积分的元素法 、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义 面积A=lm∑rAx=Mh 面积元素d4=f(x)dx vosa xI 2、让算面积的元素法步骤 (1)画出图形; (2)将这个图形分割成n个部分,这n个部分的近似于矩形或者扇形; (3)计算出面积元素 (4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问 题的步骤。 第二节定积分在几何学上的应用 内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 第六章定积分的应用第1页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案 第六章 定积分的应用第 1 页 共 6 页 第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问 题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运 用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法 （元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作 功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1 课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3 课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2 课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式 解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 四、本章教学内容的深化和拓宽： 指导学生用元素法解决其本专业的实际问题。 五、本章的思考题和习题： 第二节 279 页习题 6—2 2，（1）、（3）；3，4，5，11，12，19，25，28。 第三节 287 页习题 6—3 1，3，4，5，11。 第一节 定积分的元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积 A = = = → b a n i lim f ( i ) xi f (x)dx 1 0 面积元素 dA = f (x)dx 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成 n 个部分，这 n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问 题的步骤。 第二节 定积分在几何学上的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 Y y=f(x) x0= a x1 x2 x3 xn= b X
《高等数学》Ⅱ一I课程教案 方法 面积元素dA=192()-2(xh,面积A=2(x-9()dx 第一步:在D边界方程中解出y的两个表达式y=91(x),y=02(x) 第二步:在剩下的边界方程中找出x的两个常数值x=a,x=b;不 够时由a(x)=02(x)解出 asx≤b,(x)sy≤o2(x),面积S=Jp2(x)-(x]d 方法二 面积元素d=12(y-9(y,面积A-2()-2(ydy 第一步:在D边界方程中解出x的两个表达式x=a1( =e1(y) 第二步:在剩下的边界方程中找出y的两个常数值 V=C y=d;不够时由e(0y)=02(y)解出, x≤a2(y),面积S=[2()-9(0d 例1求y=x2-2,y=2x+1围成的面积 解 于是 积=2x 例2计算y2=2x,y=x-4围成的面积 解由x=0.5 4得 面积=「Uy+4-05y2kd=18 2、在曲边梯形y=f(x)、y=0、x=a、x=b(f(x)≥0,a<b)中,如果曲边 y=()的方程为参数方程为=0 则其面积A==00,其中a=ma)b=o) 例3求x轴与摆线 0≤t≤2x围成的面积 y=a(-cost) 解面积=a(1-cos2d=a2-2cost+ 例4星形线 (a>0)围成的面积 解面积=4y=4a上 第六章定积分的应用第2页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案 第六章 定积分的应用第 2 页 共 6 页 方法一 面积元素 dA =[ (x) (x)]dx 2 −1 ，面积 A = x x x b a [2 ( ) −1 ( )]d 第一步：在 D 边界方程中解出 y 的两个表达式 ( ) 1 y = x ， ( ) 2 y = x . 第二步：在剩下的边界方程中找出 x 的两个常数值 x = a ， x = b ；不 够时由 ( ) 1 x ( ) 2 = x 解出， a x b， ( ) ( ) 1 2 x y x ，面积 S = x x x b a [2 ( ) −1 ( )]d 方法二 面积元素 dA =[ (y) (y)]dy 2 −1 ，面积 A = y y y d c [2 ( ) −1 ( )]d 第一步：在 D 边界方程中解出 x 的两个表达式 ( ) 1 x = y ， ( ) 2 x = y . 第二步：在剩下的边界方程中找出 y 的两个常数值 y = c ， y = d ；不够时由 ( ) 1 y ( ) 2 = y 解出， c y d ， ( ) ( ) 1 2 y x y ，面积 S = y y y d c [2 ( ) −1 ( )]d 例 1 求 2 2 y = x − ， y = 2x +1 围成的面积 解 = + = − 2 1 2 2 y x y x ， 2 2 1 2 x − = x + ， x = −1， x = 3 。当 −1 x 3 时 2 2 1 2 x − x + ，于是 面积 − = + − − = − + − = 3 1 3 1 2 2 3 3 2 3 ) 10 3 1 [(2x 1) (x 2)]dx (x x x 例 2 计算 2 , 4 2 y = x y = x − 围成的面积 解 由 2 x = 0.5y ， x = y + 4 得， y = −2, y = 4 ，当 −2 y 4 时 0.5 4 2 y y + 面积= − + − 4 2 2 [ y 4 0.5y ]dy =18。 2、在曲边梯形 y = f (x) 、 y = 0、x = a 、x = b （ f (x) 0,a b ）中，如果曲边 y = f (x) 的方程为参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t ， 则其面积 A ydx b a = = (t)'(t)dt ，其中 a = (),b = () 例 3 求 x 轴与摆线 = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t , 0 t 2 围成的面积 解 面积 = − 2 0 2 a(1 cost) dt + = − + 2 0 2 ) 2 1 cos2 (1 2cos dt t a t 2 0 2 ) 2 1 cos2 2sin 2 3 ( t a t t + = − + 2 = 3a 例 4 星形线 = = y a t x a t 3 3 sin cos ( a 0 )围成的面积. 解 面积 = = − a ydx a t t t dt 0 0 2 2 3 2 4 4 sin (3cos )( sin ) = 2 − = 0 2 4 6 3 8 3 12 (sin sin ) a t t dt a y ( ) 2 y = x D ( ) 1 y = x a x b X Y d ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y y D c x y x
《高等数学》Ⅱ一I课程教案 3、极坐标系下计算平面图形的面积。 极坐标曲线p=p()围成的面积的计算方法 解不等式P(O)≥0,得到a≤O≤B。面积=1DP(O2dO 4、平行截面面积为已知的空间物体的体积 过x轴一点x作垂直于x轴的平面,该平面截空间物体的 截面面积为4(x,asx≤b,则该物体的体积=4x 例1一空间物体的底面是长半轴a=10,短半轴b=5的椭 圆,垂直于长半轴的截面都是等边三角形,求此空间体的体积 解截面面积A(x) k =0x)k=23m0-m= 5、旋转体体积 在[a,b]上f(x)≥0 曲线y=f(x)、直线x=ax=b,y=0围成的曲边梯形 1)绕x轴旋转一周形成旋转体,其截面面积A(x)=z2(x) 旋转体体积=x2(x)dx。 2)绕y轴旋转一周形成旋转体: 位于区间区xx+d上的部分绕y轴旋转一周而形成的旋转体体积 ≈x(x+dx)2f(x)-ax2f(x)≈2mf(x)dx 原曲边梯形绕y轴旋转一周形成的旋转体体积=2xJ(x)d。 例2摆线 Jx=a(t-sint) y=a(-coso)(0≤1≤2)与x轴围成的图形 xx+x b x 1)绕x轴旋转形成的旋转体体积V d a(1-cost)dt a(1-3cos1 +3cos21--cos'D)dt=5x2'a2 2)绕y轴旋转形成的旋转体体积V=2x:y=2ra2(-sm1-osn3t =2ma'llo t(l-cost)'dt-Isint (1-cost)'dr]=67'a 3)绕y=2a旋转形成的旋转体的截面面积x(2a)2-(2a-y)2]=m(4a-y) 绕y=2a旋转形成的旋转体体积 y4-y=d(-03+0-0)h (-5cost+cos- t+cos ndt= 7r a 例3求心形线p=4(+cosp)与射线φ=0、φ=丌/2围成的绕极轴旋转形成的旋转体 体积 解心形线的参数方程为x=4(c08+cos2q),y=4sing(1+cosg),旋转体体积 5r ydrs-64f2era sinp+ cosp) - sn +2 ose)do=1602 6、平面曲线的弧长 面刀量的弧微分山=+弧长,-山 第六章定积分的应用第3页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案 第六章 定积分的应用第 3 页 共 6 页 3、极坐标系下计算平面图形的面积。 极坐标曲线 = () 围成的面积的计算方法： 解不等式 () 0 ，得到 。面积= d 2 [ ( )] 2 1 4、平行截面面积为已知的空间物体的体积 过 x 轴一点 x 作垂直于 x 轴的平面，该平面截空间物体的 截面面积为 A(x) ， a x b ,则该物体的体积 V A x dx b a ( ) = 例 1 一空间物体的底面是长半轴 a = 10 ，短半轴 b = 5 的椭 圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。 解 截面面积 ) 100 2 3 3 25(1 2 1 ( ) 2 x A x = y y = − − = = 10 10 V A(x)dx 25 3 − − = 10 10 2 3 3 100 ) 100 (1 dx x 5、旋转体体积 在 [a,b] 上 f (x) 0 ， 曲线 y = f (x) 、直线 x = a, x = b, y = 0 围成的曲边梯形 1）绕 x 轴旋转一周形成旋转体，其截面面积 ( ) ( ) 2 A x = f x ， 旋转体体积 = b a V f (x)dx 2 。 2）绕 y 轴旋转一周形成旋转体： 位于区间 [x,x+dx] 上 的 部 分 绕 y 轴 旋 转 一 周 而 形 成 的 旋 转 体 体 积 ( ) ( ) ( ) 2 2 v x + dx f x −x f x 2xf (x)dx ， 原曲边梯形绕 y 轴旋转一周形成的旋转体体积 V xf x dx b a 2 ( ) = 。 例 2 摆线 = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t (0 t 2) 与 x 轴围成的图形 1）绕 x 轴旋转形成的旋转体体积 V y dx a 2 2 0 = a t dt 3 3 2 0 = (1− cos ) 3 = a (1 3cost 3cos t cos t)dt 2 3 2 0 − + − = 2 2 5 a 2）绕 y 轴旋转形成的旋转体体积 2 2 2 0 = = V x ydx a a t t t dt 3 2 2 0 ( − sin )(1− cos ) = a t t dt 2 2 0 3 2 [ (1− cos ) sin (1 cos ) ] 2 2 0 − t − t dt 3 3 = 6 a 3）绕 y = 2a 旋转形成的旋转体的截面面积 [(2 ) (2 ) ] (4 ) 2 2 a − a − y = y a − y 。 绕 y = 2a 旋转形成的旋转体体积 V y a y dx a (4 ) 2 0 = − a (1 cost)(3 cost)(1 cost)dt 3 2 0 = − + − a (3 5cost cos t cos t)dt 2 3 2 0 3 = − + + 2 3 = 7 a 例 3 求心形线 = 4(1+ cos) 与射线 = 0、 = / 2 围成的绕极轴旋转形成的旋转体 体积 解 心形线的参数方程为 x 4(cos cos ) 2 = + ， y = 4sin(1+ cos) ，旋转体体积 V y dx 2 8 0 = = 64 sin (1 cos ) sin (1 2cos )d 2 2 0 / 2 − + + =160 6、平面曲线的弧长 曲线方程 自变量的范围 弧微分 2 2 ds = dx + dy 弧长 s ds b a = y y=2a O 2a x
《高等数学》Ⅱ一I课程教案 显函数y=f(x) a≤x≤b ds=1+f(x)dx 1+f(x)dx 参数方程 a≤≤B =v0+yo|==0)+y20 y=y(t) 极坐标r=r() a≤6≤B r i +r de 表中当r=r()时,x= rose,y=rsne,x=r(0)cosb-r(O)sno, y=r(O)sine+ro)cose 弧微分d=x2+y2d=√r2+r2d 例1求摆线{x=a(m (0≤1≤2m)a>0)的长 y=a(l-cost) A dr=afl-cost ydt, dy=asind, ds =dx2+dy2=va01-2cost )dt =2a sin -dr 弧长s=2 a sin =dt=-4aco 例2摆线{x=(3m0上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标 COSI 解设A点满足要求,此时r=c。根据例2摆线第一拱成弧长8a,ds=2 a sin-do。 由条件弧OA的长为2a,即2 al sin=dt=2a,c 点A的坐标为( 例3求星形线2+2=a2的全长 解星形线的参数方程为= acos't 0≤t≤2丌 y=asin dx=-3acos tsin tdt, dy= 3acostsin-tdt, ds=3avcos tsint+cos2tsint dt=3a sintcostdr 弧长s=453 Isintcosldt=6sm1=6n 例4求对数螺线p=e2°上φ=0到φ=2z的一段弧长 √5e2lp=(e4-1) 二、教学要求与注意点 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积 第三节定积分在物理学中的应用 、内容要点 1、变力沿直线运动所做的功 如左图,设dx很小,物体在变力F(x)的作 用下从点x移动到点x+dx所做的功元素为F(x)dx o a x xtd b x 从点a移动到点b,在变力F(x)所做的功w=F(x)d 例1一物体按规律x=c2直线运动,所受的阻力与速度的平方成正比,计算物体从 第六章定积分的应用第4页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案 第六章 定积分的应用第 4 页 共 6 页 y x 显函数 y = f (x) a x b ds 1 f ' (x)dx 2 = + s f x dx b a 1 ' ( ) 2 = + 参数方程 = = ( ) ( ) y y t x x t t ds x' (t) y' (t)dt 2 2 = + s x' (t) y' (t)dt 2 2 = + 极坐标 r = r() ds r r d 2 2 = + ' s r r d 2 ' 2 = + 表中当 r = r() 时 ， x = r cos ， y = rsin ， x' = r'()cos − r()sin ， y' = r'()sin + r()cos ， 弧微分 ds x y d 2 2 = ' + ' r r d 2 2 = + ' 。 例 1 求摆线 = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t (0 t 2)(a 0) 的长 解 dx = a(1−cost)dt ，dy = asintdt ，ds dx dy a (1 2cost 1)dt 2a 2 2 2 = + = − + = dt t 2 sin 。 弧长 a t dt a t s a 8 2 4 cos 2 2 sin 2 0 2 0 = = − = 例 2 摆线 = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t 上求分摆线第一拱成 1：3 的点的坐标 解 设 A 点满足要求，此时 t = c 。根据例 2 摆线第一拱成弧长 8a ，ds = 2a dt t 2 sin 。 由条件弧 OA 的长为 2a ，即 dt a t a c 2 2 2 sin 0 = , 3 2 c = ,点 A 的坐标为 ) 2 3 ) , 2 3 3 2 (( − a a 例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a 的全长 解 星形线的参数方程为 = = y a t x a t 3 3 sin cos , 0 t 2 , dx 3acos tsintdt 2 = − , dy a t tdt 2 = 3 cos sin ， ds a t t t t 4 2 2 4 = 3 cos sin + cos sin dt = 3a |sint cost | dt . 弧长 s 4 2 3asint costdt 6a 0 = = sin t 6a 2 0 2 = 。 例 4 求对数螺线 2 = e 上 = 0 到 = 2 的一段弧长 解 2 ' = 2e ，弧长 s d 2 ' 2 2 0 = + = e d 2 2 0 5 = ( 1) 2 5 4 − e 二、教学要求与注意点 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲 线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积 第三节 定积分在物理学中的应用 一、内容要点 1、变力沿直线运动所做的功 如左图，设 dx 很小，物体在变力 F(x) 的作 用下从点 x 移动到点 x+dx 所做的功元素为 F(x)dx， 从点 a 移动到点 b, 在变力 F(x) 所做的功 w F x dx b a ( ) = 例 1 一物体按规律 2 x = ct 直线运动，所受的阻力与速度的平方成正比，计算物体从 y A O 2a x F(x) . • • • • • O a x x+dx b x
《高等数学》Ⅱ一I课程教案 x=0运动到x=a时,克服力所做的功 解位于x处时物体运动的速度=2=2,(=2√a,所受 o xx+dx 的阻力F=k4cx=4ckx。如图从点x运动到点x+dx所做的功元素 dh=4ckdx。物体从0运动到a时,克服力所做的功w=4ck=2kc 例2一个圆拄形水池,底面半径5米,水深10米,要把池中的 水全部抽出来,所做的功等于多少?(水的密度p=1) 解如图,将位于x处、厚度为dx的薄层水抽出来,其质量 △M=密度x体积=p·x53dx=25x,当薄层水的厚度d很小时, 所做的功元素dh=25xd。要把池中的水全部抽出来,所做的功 =25mxax=25mp-=125×98×3.14p=38465p(k 例3一条均匀的链条长28m,质量20kg,悬挂于某建筑物顶部,需做多 少功才能把它全部拉上建筑物顶部 解如图,将位于x处、长度为t的一小段拉到顶部,其质量为2a=5a 所做的功元素d=xdx。全部拉上建筑物顶部所做的功v 5 xdx=x=280(k) 2、液体的压力 例4一块矩形木板长10米,宽5米。木板垂直于水平面,沉没于水中,其一宽与水 面一样高,求木板一侧受到的压力。(水的密度p=1) 解如图,木板在x处所受的压强为xp。位于x处、长为5米、宽为dx 米的小矩形受到的压力元素dF=xp5dk=5xdk(吨)。整块木板一侧受到的压 力F=5x=20≈250(吨)。 x dx b x 例5如图一质量为m的质点位于原点,一根密度为ρ、长为的均匀细棒区间a+ 上,求细棒对质点的引力 解位于x处、长为ax的小段,其质量为atkx,对质点的引力元素dF=k mpx 细棒对质点的引力F= k aa+/ a(a+n) 例6设星形线x=acos3t,y=asn3t上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的 距离的立方,求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力 解如图,位于(xy)处、长为d的小段,到原点的距离r=x2+y2, 线密度为r3,其质量为rs,其中d=√x2+d2=3 asintcostdt。该小段y 对质点的引力元素=.→d=kn,其水平分量dF1=dF.x=kd,铅 直分量d=dF=ks,因此F1=koso=06n2,,=062 第六章定积分的应用第5页共6页
《高等数学》Ⅱ—Ⅰ课程教案 第六章 定积分的应用第 5 页 共 6 页 • • • • O a x dx b x • • • • O x x+dx a x x = 0 运动到 x = a 时，克服力所做的功。 解 位于 x 处时物体运动的速度 ct dt dx = 2 cx x c = 2c = 2 ，所受 的阻力 F = k4cx = 4ckx 。如图从点 x 运动到点 x+dx 所做的功元素 dw = 4ckxdx 。物体从 0 运动到 a 时，克服力所做的功 w kcxdx a kc a b 2 = 4 = 2 。 例 2 一个圆拄形水池，底面半径 5 米，水深 10 米，要把池中的 水全部抽出来，所做的功等于多少？（水的密度 =1） 解 如图，将位于 x 处、厚度为 dx 的薄层水抽出来，其质量 M = 密度 体积 5 dx 25dx 2 = = ，当薄层水的厚度 dx 很小时， 所做的功元素 dw = 25xdx 。要把池中的水全部抽出来，所做的功 125 9.8 3.14 38465 ( ) 2 25 25 10 0 2 10 0 k J x w = xdx = r = = 例 3 一条均匀的链条长 28m ，质量 20kg ，悬挂于某建筑物顶部，需做多 少功才能把它全部拉上建筑物顶部 解 如图，将位于 x 处、长度为 dx 的一小段拉到顶部，其质量为 dx dx 7 5 28 20 = ， 所做的功元素 dw xdx 7 5 = 。全部拉上建筑物顶部所做的功 280( ) 14 5 7 5 28 0 2 28 0 w = xdx = x = k J 2、液体的压力 例 4 一块矩形木板长 10 米，宽 5 米。木板垂直于水平面，沉没于水中，其一宽与水 面一样高，求木板一侧受到的压力。（水的密度 =1） 解 如图，木板在 x 处所受的压强为 x 。位于 x 处、长为 5 米、宽为 dx 米的小矩形受到的压力元素 dF = x5dx = 5xdx （吨）。整块木板一侧受到的压 力 250 2 5 5 10 0 2 10 0 = = = x F xdx （吨）。 3、引力 例 5 如图一质量为 m 的质点位于原点，一根密度为 、长为 l 的均匀细棒区间 [a,a + l] 上，求细棒对质点的引力 解 位于 x 处、长为 dx 的小段，其质量为 dx ，对质点的引力元素 2 x m dx dF k = 。 细棒对质点的引力 dx x km F a l a 2 + = ( ) ) 1 1 ( a a l k ml a a l k m + = + = − 例 6 设星形线 x a t 3 = cos ，y a t 3 = sin 上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的 距离的立方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力。 解 如图，位于 (x, y) 处、长为 ds 的小段，到原点的距离 2 2 r = x + y ， 线密度为 3 r ，其质量为 r ds 3 ，其中 2 2 ds = dx + dy = 3asint costdt 。该小段 对质点的引力元素 krds r r ds dF = k = 2 3 ，其水平分量 kxds r x dFx = dF = ，铅 直分量 kyds r y dFy = dF = 。因此 3 2 2 0 Fx = k acos t 3asint costdt = 0.6k a , 2 F 0.6ka y = y ds x dx