录 第三版序言 ……………………………1 第一版序言 2 第一讲连续统…………………… 1 第二讲极限……………24 第三讲函数……………… 50 第四讲级数……………… 81 第五讲导数…………………… 114 第六讲积分………… 152 第七讲函数的级数展开………… 193 第八讲微分方程 … 227 译后记 257 PDF文件使用"pdfFactory'”试用版本创建www.fineprint.com.cn
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连续统 第一讲 连续统 为 什么数学分析必须从研究连续统开始?一—为什么没有 完整的实数理论的建立是不能研究连续统的?一无理数的 构造.—一连续统理论,一基本引理. 为什么数学分析必须从研究柴蜿开始?“变量y称 为变量x的函数,如果对于变量x的每一个值,量y都有唯 确定的值与之对应”可以把这句话当作是开启高等数学领 域的大门:借助于这句话我们可以定义最重要的、最首要的 数学分析概念—函数关系概念,在此概念中,已经奠定了 借助数学工具来把握自然现象和技术过程的完整思想的萌 芽.这就是为什么我们必须毫不含糊地要求这个定义有完全 的、无可指责的明确性;其中的每一个字都不应引起一点怀 疑的阴影.在此,极小的一点歧义都可能危及所构筑的整个 庄严的大厦,这个大厦是科学,它就是以此概念为基础建造 起来的,歧义会使得这座大厦成为不完善的,需要从根本上 重建 而同时我们开始时作的那个简单的表述,在进~步地研 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第一评 究时,在许多地方是含义不明的并且容许不同的解释.我们 在这里只注意这种不清楚的地方之一,因为恰恰是试图把这 点的内容最后弄清楚,把我们紧紧地引向我们今天的讲义 的对象 我们的定义包含了这样的字眼:“对量x的每灬个值”, 为了不留下任何含糊之处,我们必须无条件地要求给大家解 释清楚术语“变量的值”的意义、但这还是小事,在我们的 定义中说到的是“每一个值”出此得知:要想充分了解这个 定义,貝掌握量x的某些个别的值的概念是不够的.最要紧 的是,我们应当完全精密地理解这些值的整个集合,整个的 “蓄积”,这些值中的任何一个都应当有一个确定的量y的值 与之对应.我们应当了解在数学分析中称为已知函数的“定 义域”的,是什么东西. 什么是变量的个别的值?我们知道,这就是数如果是 这样,则所有这些值的集合就是某些数的集合一某个所谓 的数集.这个集合是什么样的?它包含有什么样的数?我们 从一开始就排除了考虑虚数,而假设所有的量x和y的值都 是实数.那么,所有的实数都可以作为量x的值吗?如果不 是,那么什么样的可以而什么样的不可以呢? 关于所有这一切在我们的定义里什么也没有说,而这是 完全明白的,因为不可能对所有的函数都用同一方式回答这 个问题(而实质上甚至对同一个函数在不同的问题中也不 行).函数的定义域既取决于该函数的性质,也取决于那些特 定的问题,正是为了解决这些问题我们才在当前的研究中需 要这个函数,因为很容易明白,同一个函数在不同的问题中 是对不同的自变量值进行研究的、对所有这一切我们知道许 多例子,例如:函数y=x!(至少在初等数学范围内)只对 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 正整数x研究才有意义;函数y=1x只对x>0有意义,等 等.可以容易地想出这种例子,其中函数的自然定义域会是 结构十分复杂的数集 但是,如果我们自问:不仅在数学分析本身中,而且在 其应用中,我们实际上最常见的量x的值的集合是什么样 的?则我们应该说:在绝大多数情况下,函数的这类定义域 是“区间”(闭的或开的),即介于两个已知数之间的所有实 数的集合(包含或者除去这两个数)有时这个区间成为半直 线(例如:x>0),这就表明,量x的值的集合是大于(或 者小于)某个数的所有实数的集合(有时条件>或<要代之 以条件≥或者≤).最后,还有这样的情形,即区间变成为整 个直线,即量x的值可以是所有的实数.这时则说函数的定 义域是整个实轴或者“数直线” 无论如何,我们看到,对于数学分析中的函数而言,函 数在其上发展且展示其个别的特点的那个域、那个场地,函 数在其中才能成为自然科学的和技术的强大数学武器的载 体,都是所有实数的集合.这个集合在数学中被称为连续统 确切些说是线性连续统).完全像培育植物之前,必须仔细 地研究土壤一样,在高等数学中我们期望热心人依靠科学,而 不是只靠碰运气的庄户人,在以函数关系概念为基础建筑这 个科学的整个大厦之前,应当以仔细的方式研究这个概念赖 以生存和发展的载体.这就是为什么在所有的认真地科学地 编成的数学分析教程中,连续统都是第一个研究对象.且只 有当其本质以及性质被充分掌握之后,才可能转而进人对函 数关系概念的根本的研兖.而连续统的结构并不像我们初看 时设想的那么简单.展现在我们眼前的实数世界是一个复杂 的、富含各种各样细节的结构.对它作全面的研究,直到现 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第一讲 在还不能认为科学巳经完成了这件事 为什么泛有究的实數覆论的定立是不能研窕庵鴃堯 的?这样一来,连续统是什么样的?存在着什么样的实数? 何时以及为什么我们才可以相信已经实际上掌握了所有实数 的全部? 在初等代数里,我们掌握了全部有理数的集合,即所有 的整数和分数,既有正的,而且也有负的.但很快地我们就 开始注意到这些数对我们来说是不够用的这是什么意思?为 什么不能只局限于有理数呢?我们不能这样做是因为在有理 数中没有例如√2这个数,即找不到平方等于数2的有理数 而为什么必须有这样的数呢?因为就是边长为1的正方形的 对角线恰好有长度√2.因而如果我们否定了这个数的存 在,则我们对几何学中如此简单地产生的线段的长度,就不 能以任何数来表达了显然,在这样的基础上度量几何就不 可能得到发展这就是说,√2应当在实数中找到其位置但 在有理数中是没有它的位置的因此我们称该数为无理数但 是这个√2绝对不会只满足于我们只是承认它的存在:它马 上就会开始要求,首先在有理数中间给它找到完全确定的位 置,即准确地指出什么样的有理数小于它以及什么样的有理 数大于它(例如√2>1-正方形的对角线大于其边).其 次,它要求我们要学会对它进行运算,就像对有理数一样,还 要与有理数的运算相容(例如:正方形的边与对角线的和等 于1+√2,这要求我们对这个数也赋予意义,即把它归并 人实数集合之中)新数的所有这些要求都完全是根本性的并 且是合理的,而且如果我们目前还不回答这些问题,则这只 是因为我们马上还要引入另外的许多新数进入到我们的领 域,它们全部都亳无例外地将对我们提出这样的要求,所以 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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