第三章线性方程组 §3.1消元法
第三章 线性方程组 §3.1 消 元 法
§3.1消元法 ax tax +.+a,x 对一般线性方程组 21x1+a2x2+…+a2nxn=b2, (1) x 十a,X+…+ax 当m=n,且系数行列式D≠0时,我们知方程组(1)有唯一解, 其解由 Gramer法则给出。但是若此时D=0,我们无法知道此时 方程组是有解,还是无解。同时,当m≠n时,我们也没有解 此方程组(1)的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 §3.1 消元法 对一般线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = —（1） 当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解， 其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时 方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解 此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
组(1)进行研究。 在中学代数中,我们曾用加减消元法和代入消元法来解二 元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程 组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组: 解方程组: 把未知量系数和常数按原顺序写成下表 2x,-x+3x,=1 4x,+2x1+5X,=4 4254 2x1+2x3=6 2026 把第1个方程分别乘以(-2) 把第1行分别乘以(-2) (-1)加到第2个、3个方程 (-1)加到第2、3行 2x1-x2+3x3=1 2-13 4 2 04-12 X3 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 组（1）进行研究。 在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来解二 元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程 组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组： 解方程组： 把未知量系数和常数按原顺序写成下表 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 4 2 5 4 2 2 6 x x x x x x x x − + = + + = + = → 2 1 3 1 4 2 5 4 2 0 2 6 − 把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程 把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行 1 2 3 2 3 2 3 2 3 1 4 2 5 x x x x x x x − + = − = − = → 2 1 3 1 0 4 1 2 0 1 1 5 − − −
把第3个方程分别乘以(-4) 把第3行分别乘以(4) 1加到第2个、1个方程 1加到第2、1行 2 +2x,=6 3x3=-18 003-18 把第2个方程与第3个 方程互换位置 把第2行与第3行互换位置 +2x2=6 2026 18 003-18 分别把第1个方程和第3个 分别用,和 方程乘以2和3 乘第1行和第3行 XI 5 0 001-6 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程 把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行 1 3 3 2 3 2 2 6 3 18 5 x x x x x + = = − − = → 2 0 2 6 0 0 3 18 0 1 1 5 − − 把第2个方程与第3个 方程互换位置 把第2行与第3行互换位置 1 3 2 3 3 2 2 6 5 3 18 x x x x x + = − = = − 2 0 2 6 0 1 1 5 0 0 3 18 − − → 分别把第1个方程和第3个 方程乘以 1 2 和 1 3 分别用 1 2 和 1 3 乘第1行和第3行 1 3 2 3 3 3 5 6 x x x x x + = − = = − → 1 0 1 3 0 1 1 5 0 0 1 6 − −
把第3个方程分别乘以 分别把把第3行乘以 (-1)、1加到第1、2个方程 1)、1加到第1、2行 916 1009 0 0-1 00 在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三 种变换: ●用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上 用一个非零数乘一个方程的两边; 互换两个方程的位置 这三种变换总称为线性方程组的初等变换。 如果把方程组写成“数表”(矩阵)的形式,则解方程组就相 当于对“数表”(矩阵)进行以下三种变换: ●用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上; ●用一个非零数乘矩阵的某一行; 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 把第3个方程分别乘以 （-1）、1加到第1、2个方程 分别把把第3行乘以 （-1）、1加到第1、2行 1 2 3 9 1 6 x x x = = − = − → 1 0 0 9 0 1 0 1 0 0 1 6 − − 在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三 种变换： ⚫ 用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上； ⚫ 用一个非零数乘一个方程的两边； ⚫ 互换两个方程的位置。 这三种变换总称为线性方程组的初等变换。 如果把方程组写成 “数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相 当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换： ⚫ 用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上； ⚫ 用一个非零数乘矩阵的某一行；