k+1 a1,2-2 In k→oa k 则实幂级数(322)收敛,且复幂级数(3.2.1)绝对 收敛。 3.收敛圆 记R ak+|1 k+1 im k+lz-2>lim R=1 k m有 k→>∞ k
lim lim 0 1 1 0 1 1 0 = − − − + → + + → z z a a a z z a z z k k k k k k k k 则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对 收敛。 3. 收敛圆 记 1 lim + → = k k k a a R 有 lim lim lim 1 1 0 1 0 1 1 0 = − = − − + → + → + + → R a a z z a a a z z a z z k k k k k k k k k k k
故当|-=0<R,(321)绝对收敛 当|-=0>R,(321)可能发散 R叫收敛半径,以20为圆心,R为半径的圆叫 幂级数的收敛圆 最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝 对收敛,而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收 敛的。 根值判别法 lml-=<1(322)收敛,(32.1)绝对收敛。 lnyk-=21(322)发散,(32.1)发散
收敛圆 R 叫收敛半径，以 为圆心，R 为半径的圆叫 幂级数的 0 z 最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝 对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收 敛的。 根值判别法 lim 1, − 0 → a z z k k k lim 1, − 0 → a z z k k k (3.2.2) 收敛，(3.2.1) 绝对收敛。 (3.2.2) 发散，(3.2.1) 发散。 故当 ，(3.2.1) 绝对收敛。 当 ，(3.2.1) 可能发散。 z − z0 R z − z0 R
故R=lim k→>0 例(1)1+t+t2+…+t+ 解: 收敛半径:R=m k→o\ak+1 收敛圆内部为|<1 1-t k+1 其实,∑=1+1+2+…+1+…=im k=0 k→1-t k+1 对于团<1 k=0 k→∞1-t 1-t
故 k k k a R 1 lim → = 例 (1) 1+ t + t 2 ++ t k + t 1 解： ak =1 lim 1 1 = = + → k k k a a 收敛半径: R 收敛圆内部为 其实， t t t t t t k k k k k − − = + + + + + = + → = 1 1 1 lim 1 2 0 t 1 t t t t k k k k − = − − = + → = 1 1 1 1 lim 1 0 对于
但对于||>1显然级数发散。 2)∑(-1)2=2=1-=2+=4-…+(-1) k 2K 2- k=0 解:ak=(-1)R=ma4=1收敛圆 1zl- <1 k 实际上对于|<11-2+:-+(y=x+ 1+z 4.幂级数的积分表示利用柯西公式 在一个比收敛圆C内稍小的圆C中幂级数绝对 致收敛,故可沿这个圆逐项积分
(2) 但对于 t 1 显然级数发散。 − = − + −+ − + = k k k k k z z z z 2 4 2 0 2 ( 1) 1 ( 1) 解： k k a = (−1) lim 1 1 = = + → k k k a a R 收敛圆 z 1 2 2 4 2 1 1 1 ( 1) z z z z k k + 实际上对于 z 1 − + −+ − += 4. 幂级数的积分表示 利用柯西公式 在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C’ 中幂级数绝对 一致收敛，故可沿这个圆逐项积分