《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十四章 曲线积分、曲面积分与场论（14.3）Green公式、Gauss公式和 Stokes公式

3.从 Green公式还可以得到一个求区域面积的方法 设D为平面上的有界闭区域,其边界为分段光滑的简单闭曲线。 则它的面积为 S=xdv= x yax s 其中∂D取正向

3. 从 Green 公式还可以得到一个求区域面积的方法： 设 D为平面上的有界闭区域，其边界为分段光滑的简单闭曲线。 则它的面积为 1 d d d d 2 S x y y x x y y x    = = − = −    D D D ， 其中D取正向

例14.3.1计算椭圆x+,=1(ab>0)所围图形的面积 图1437 解椭圆的参数方程为 x= a 6,y=bsin6,0≤6≤2π 设椭圆的正向边界为L,那么所求面积为 xdy-yd abcos20+absin)de ab d0=ab

例 14.3.1 计算椭圆 x a y b a b 2 2 2 + 2 = 1 ( ,  0)所围图形的面积。 解 椭圆的参数方程为 x a y b = =   cos , sin ,0 2    π。 设椭圆的正向边界为L ，那么所求面积为 ( ) 2π 2π 2 2 0 0 1 1 d d cos sin d d π 2 2 2 L ab S x y y x ab ab ab = − = + = =        。 图14.3.7 x a y b 2 2 2 2 + =1 O x y

例14.32计算/=2+y+yx+m(x+y+y)中,其中L为 L 曲线y=sinx,0≤x≤π与直线段y=0,0≤x≤π所围区域D的正向边界 解令P=√x+y,Q=yx+(x+√x2+y),则 P aQ 由 Green公式得到 8o oP sInx 4 ly=ydrdy= dx ydy sin xdx=-o 0x0 y=sInx 图1438

例 14.3.2 计算 2 2 2 2 d ln( ) d L I x y x y xy x x y y = + + + + +      ，其中 L 为 曲线 y x x =   sin ,0 π 与直线段 y x =   0,0 π 所围区域D的正向边界。 解 令 2 2 2 2 P x y Q y xy x x y , ln( ) = + = + + +     ，则 2 2 2 2 2 , x y y y x Q x y y y P + = +   + =   。 由 Green 公式得到 π sin π 2 2 3 0 0 0 1 4 d d d d d d sin d 3 9 Q P x I x y y x y x y y x x x y     = − = = = =            D D 。 y = sin x O x y p 图14.3.8

例14.3.3计算/=∫( e sin y.-m)ax+(ecsy-m)dy,其中L为圆 (x-a)2+y2=a2(a>0)的上半圆周,方向为从点A(2a0)到原点O00)。 解现在积分曲线不是闭的,不能 直接用 Green公式,但添加一条直线y 段OA(方向从O到A)后,L与OA合 起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲 线所围的区域为D。这时 P=e sin y-my, Q=e cos y-m A(2a20)x aP aQ =e cos y-m, ax e cos 图1439 利用 Green公式,得到 Je sin y-my)dx(e "cos y-m)dy +(e"sin y-my)dx+e cos y-m)dy td D

例 14.3.3 计算 (e sin d e cos d ) ( ) x x L I y my x y m y = − + −  ，其中L 为圆 ( ) ( 0) 2 2 2 x − a + y = a a  的上半圆周，方向为从点 A(2a,0) 到原点O(0,0)。 解 现在积分曲线不是闭的，不能 直接用 Green 公式，但添加一条直线 段OA（方向从O到 A）后，L 与OA合 起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲 线所围的区域为D。这时 y。 x Q y m y P P y my Q y m x x x x e cos , e cos e sin , e cos , =   = −   = − = − 利用 Green 公式，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 e sin d e cos d e sin d e cos d π 2 x x x x L OA y my x y m y y my x y m y m a m dxdy − + − + − + − = =    。 D A a (2 , 0) 2 2 2 ( ) x a y a − + = O x y 图14.3.9

再计算沿OA的曲线积分。因为OA的方程为y=0,x:0→2a,那么 J(esin y-my)dx+(e cos y-m) 0dx+0=0。 代入前面的式子,就得到 J(e siny-my dx +(e cos y-m)dy mmt a

再计算沿 OA 的曲线积分。因为 OA 的方程为 y = 0, x : 0 → 2a ，那么 ( ) ( ) 2 0 e sin d e cos d 0d 0 0 a x x OA y my x y m y x − + − = + =   。 代入前面的式子，就得到 ( ) ( ) 2 π e sin d e cos d 2 x x L m a y my x y m y − + − = 