再证区域D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3的区域,在这种区域上,平行于y轴的直线与D的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线AB将D分割成两个标准区域 D与D,(D的边界为曲线ABMA,D的边界为曲线ANBA)。因此可以 应用 Green公式得到 oo aP Pdx+Od Iy dxd ax ay Pdx +ody ao aP xay o aD2 ax ay 二一二 B D 图14.33
再证区域 D 可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3.3 的区域,在这种区域上,平行于 y 轴的直线与 D 的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线 AB 将D分割成两个标准区域 D1 与 D2( D1 的边界为曲线 ABMA,D2 的边界为曲线 ANBA)。因此可以 应用 Green 公式得到 1 1 d d d d Q P P x Q y x y x y + = − D D , 2 2 d d d d Q P P x Q y x y x y + = − D D 。 D2 D1 O x N A B M y 图14.3.3
注意D与D2的公共边界AB,其方向相对于aD而言是从A到B, 相对于aD2而言是从B到A,两者方向正好相反,所以将上面的两式相 加便得 Pdx+ Ody 00P dxd aD d(dx dy) 对于Gren公式一般情形的证明比较复杂,这里从略
注意 D1 与 D2 的公共边界 AB ,其方向相对于 1 D 而言是从 A 到 B , 相对于 2 D 而言是从B 到 A,两者方向正好相反,所以将上面的两式相 加便得 d d d d Q P P x Q y x y x y + = − D D 。 对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂,这里从略
Gren公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去 以只有一个洞为例(见图14.34),用光滑曲线连结其外边界L上一 点M与内边界l上一点N,将D割为单连通区域。由定理14.3.1得到 N D 图1434 ag aP Pdx+Od D(or a y MN ∫+∫rax+cy=Jrax+c 其中L为逆时针方向,l为顺时针方向,这与D的诱导定向相同
Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例(见图 14.3.4),用光滑曲线连结其外边界L 上一 点M 与内边界l上一点N ,将D割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到 图 14.3.4 d d d d d d d d , L MN l NM L l Q P x y P x Q y x y P x Q y P x Q y − = + + + + = + + = + D D 其中 L 为逆时针方向,l为顺时针方向,这与D的诱导定向相同。 D l L M N
Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论: 1.记取诱导定向的∂D上的单位切向量为z,单位外法向量为n (见图143.5),那么显然有 cos(n, y)=-coS( t, x), cos(n, x)=sin( t, x) 因此得到 Green公式的另一种常用表示形式 aF aG dxd Fdy-Gdx= [Fsin(t, x)-Gcos(t, x)]ds [FcoS(n, x)+G cos(n, y)] 这个形式便于记忆和推广。 aD 图14.35
Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论: 1. 记取诱导定向的D上的单位切向量为 ,单位外法向量为n (见图 14.3.5),那么显然有 cos(n, y) = −cos( , x),cos(n, x)=sin( , x)。 因此得到 Green 公式的另一种常用表示形式 d d d d F G x y F y G x x y + = − = D D D [ sin( , ) cos( , )]d F x G x s − = D [ cos( , ) cos( , )]d F x G y s n n + , 这个形式便于记忆和推广。 D n D 图14.3.5
2. Green公式是 Newton- Leibniz公式的推广。设f(x)在[a,b]上具 有连续导数,取D=[a,b]×[0,1(见图1436)。在 Green公式中取P=0, Q=f(x),就得到 J/(x)drdy=/(xd D D 利用化累次积分的方法,等式左边就是∫4yJr(xdx=Jr(x)x。而等 式右边等于 ∫+∫+∫+∫fx)=∫+「(x)y=「/(b)y+/(a)y=()-/(a) AB BC CD DA BC DA 这就得到 Newton- Leibniz公式 f(xdx=f(b)-f(a) 图14.36
2. Green 公式是 Newton-Leibniz 公式的推广。设 f (x) 在[a,b]上具 有连续导数,取 D = [ , ] [0,1] a b (见图 14.3.6)。在 Green 公式中取P = 0, Q = f (x),就得到 f x x y f x y ( )d d ( )d = D D 。 利用化累次积分的方法,等式左边就是 1 0 d ( )d ( )d b b a a y f x x f x x = 。而等 式右边等于 1 0 0 1 ( )d ( )d ( )d ( )d ( ) ( ) AB BC CD DA BC DA + + + = + = + = − f x y f x y f b y f a y f b f a 。 这就得到 Newton-Leibniz 公式 ( )d b a f x x = f (b) − f (a)。 a b x 1 D y O 图14.3.6