第七章目标规划 §1目标规划的提出 线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束 条件下的最大值或最小值问题。对于一个实际问题，管理科学者根据 管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优 劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出 相应的约束条件以建立线性规划模型：然后用计算机软件求出最优方 案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中，决策目标 往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情 况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961 年美国学者查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.W.Coopor)提出了目标 规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。 我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列 的局限性。 例1某厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和 6个人工，所需设备的单位台时均为1。已知该厂有10个单位机器台 时提供制造这两种产品，并且至少能提供0个人工。又，A、B产品 的利润，每件分别为300元和500元。试问：该厂各应生产多少件A、 B产品，才能使其利润值最大？ 解设该厂能生产A、B产品的数量分别为x,x,件，则有
1 第七章 目标规划 §1 目标规划的提出 线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束 条件下的最大值或最小值问题。对于一个实际问题，管理科学者根据 管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优 劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出 相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方 案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中，决策目标 往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情 况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961 年美国学者查恩斯（A.Charnes）和库柏（W.W.Coopor）提出了目标 规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。 我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列 的局限性。 例 1 某厂生产 A、B 两种产品每件所需的劳动力分别为 4 个人工和 6 个人工，所需设备的单位台时均为 1。已知该厂有 10 个单位机器台 时提供制造这两种产品，并且至少能提供 70 个人工。又，A、B 产品 的利润，每件分别为 300 元和 500 元。试问：该厂各应生产多少件 A、 B 产品，才能使其利润值最大？ 解 设该厂能生产 A、B 产品的数量分别为 1 2 x x, 件，则有
max==300x+500x2 x,+x2≤10 s.1{4x+6.x2≥70 x,≥0，j=1,2 图解法求解如下： 4x+6x=70 5101520> 为+为3=10 图7-1 由上图可得，满足约束条件的可行解集为©，即机时约束和人工 约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增加利润， 不可能不生产A、B两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个 合适的方案。 例2某厂为进行生产需采购A、B两种原材料，单价分别为70元/ 公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少 于80公斤，而A原材料不少于20公斤。问如何确定最好的采购方 案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）？ 解这是一个含有两个日标的数学规划问题。设x,x,分别为购买两种 原材料的公斤数，(x,x)为花掉的资金，(x,x)为购买的总量。建 立该问题的数学模型形式如下：
2 1 2 1 2 1 2 max 300 500 10 . . 4 6 70 0, 1,2. j z x x x x s t x x x j = + + + = 图解法求解如下： 由上图可得，满足约束条件的可行解集为 ，即机时约束和人工 约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增加利润， 不可能不生产 A、B 两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个 合适的方案。 例 2 某厂为进行生产需采购 A、B 两种原材料，单价分别为 70 元/ 公斤和 50 元/公斤。现要求购买资金不超过 5000 元，总购买量不少 于 80 公斤，而 A 原材料不少于 20 公斤。问如何确定最好的采购方 案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）？ 解 这是一个含有两个目标的数学规划问题。设 1 2 x x, 分别为购买两种 原材料的公斤数， f x x 1 1 2 ( , ) 为花掉的资金， f x x 2 1 2 ( , ) 为购买的总量。建 立该问题的数学模型形式如下：
minf(x,x2）=70x+50x2 maxf(,)=x+x [70x+50x,≤5000 s.1. X+x2280 x≥20 (,x≥0 对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案。极可 能的结果是，第一个方案使第一目标的结果值优于第二方案，同时第 二方案使第二目标的结果值优于第一方案。也就是说很难找到一个最 优方案，使两个目标的函数值同时达到最优。另外，对于多目标问题， 还存在有多个目标存在有不同重要程度的因素，而这也是线性规划所 无法解决的。 在线性规划的基础上，建立了一种新的数学规划方法一一目标规 划法，用于弥补线性规划的上述局限性。总的来说，目标规划和线性 规划的不同之处可以从以下几点反映出来： 1、线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往存在多个目标。 目标规划能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得切合实际需求的 解。 2、线性规划是求满足所有约束条件的最优解。而在实际问题中， 可能存在相互矛盾的约束条件而导致无可行解，但此时生产还得继续 进行。即使存在可行解，实际问题中也未必一定需要求出最优解。目 标规划是要找一个满意解，即使在相互矛盾的约束条件下也找到尽量 满足约束的满意解，即满意方案。 3
3 ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 min , 70 50 max , 70 50 5000 80 . . 20 , 0 f x x x x f x x x x x x x x s t x x x = + = + + + 对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案。极可 能的结果是，第一个方案使第一目标的结果值优于第二方案，同时第 二方案使第二目标的结果值优于第一方案。也就是说很难找到一个最 优方案，使两个目标的函数值同时达到最优。另外，对于多目标问题， 还存在有多个目标存在有不同重要程度的因素，而这也是线性规划所 无法解决的。 在线性规划的基础上，建立了一种新的数学规划方法——目标规 划法，用于弥补线性规划的上述局限性。总的来说，目标规划和线性 规划的不同之处可以从以下几点反映出来： 1、线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往存在多个目标。 目标规划能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得切合实际需求的 解。 2、线性规划是求满足所有约束条件的最优解。而在实际问题中， 可能存在相互矛盾的约束条件而导致无可行解，但此时生产还得继续 进行。即使存在可行解，实际问题中也未必一定需要求出最优解。目 标规划是要找一个满意解，即使在相互矛盾的约束条件下也找到尽量 满足约束的满意解，即满意方案
3、线性规划的约束条件是不分主次地等同对待，这也并不都符合 实际情况。而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。 §2目标规划的基本概念与数学模型 §2.1基本概念 在这一小节里介绍与目标规划有关的基本概念。 1.偏差变量 对于例1，造成无解的关键在于约束条件太死板。设想把约束条 件“放松”，比如占用的人力可以少于0人的话，机时约束和人工约 束就可以不再发生矛盾。在此基础上，引入了正负偏差的概念，来表 示决策值与目标值之间的差异。 d一一正偏差变量，表示决策值超出目标值的部分，目标规划里 规定d≥0： d一一负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分，目标规划 里规定d≥0。 实际操作中，当目标值（也就是计划的利润值）确定时，所作的 决策可能出现以下三种情况之一： (1)决策值超过了目标值（即完成或超额完成计划利润值），表 示为d20,d=0:
4 3、线性规划的约束条件是不分主次地等同对待，这也并不都符合 实际情况。而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。 §2 目标规划的基本概念与数学模型 §2.1 基本概念 在这一小节里介绍与目标规划有关的基本概念。 1．偏差变量 对于例 1，造成无解的关键在于约束条件太死板。设想把约束条 件“放松”，比如占用的人力可以少于 70 人的话，机时约束和人工约 束就可以不再发生矛盾。在此基础上，引入了正负偏差的概念，来表 示决策值与目标值之间的差异。 i d + ——正偏差变量，表示决策值超出目标值的部分，目标规划里 规定 0 i d + ； i d −——负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分，目标规划 里规定 0 i d − 。 实际操作中，当目标值（也就是计划的利润值）确定时，所作的 决策可能出现以下三种情况之一： （1）决策值超过了目标值（即完成或超额完成计划利润值），表 示为 0 i d + ， 0 i d − = ；
(2)决策值未达到目标值（即未完成计划利润值），表示为d=0, d20: (3)决策值恰好等于目标值（即恰好完成计划利润指标），表示 为d=0,d=0 以上三种情况，无论哪种情况发生，均有d·d=0。 2.绝对约束与目标约束 绝对约束也称系统约束，是指必须严格满足的等式约束和不等式 约束，它对应于线性规划模型中的约束条件。 目标约束是目标规划所特有的。当确定了目标值，进行决策时， 允许与目标值存在正或负的偏差。因而目标约束中加入了正、负偏差 变量。 如，例1中假定该企业计划利润值为5000元，那么对于目标函数 maxz=300x+500x2,可变换为 300.x+500x2+d-d=5000 该式表示决策值与目标值5000之间可能存在正或负的偏差（请读 者分别按照上面所讲的三种情况来理解)。 绝对约束也可根据问题的需要变换为目标约束。此时将约束右端 项看作所追求的目标值。如，例1中绝对约束x+x≤10，可变换为目 标约束x+为+d-d=10。 3.目标规划的目标函数
5 （2）决策值未达到目标值（即未完成计划利润值），表示为 0 i d + = ， 0 i d − ； （3）决策值恰好等于目标值（即恰好完成计划利润指标），表示 为 0 i d + = ， 0 i d − = 。 以上三种情况，无论哪种情况发生，均有 i d + • i d − =0。 2．绝对约束与目标约束 绝对约束也称系统约束，是指必须严格满足的等式约束和不等式 约束，它对应于线性规划模型中的约束条件。 目标约束是目标规划所特有的。当确定了目标值，进行决策时， 允许与目标值存在正或负的偏差。因而目标约束中加入了正、负偏差 变量。 如，例 1 中假定该企业计划利润值为 5000 元，那么对于目标函数 max 300 500 1 2 z x x = + ，可变换为 1 2 300 500 5000 i i x x d d − + + + − = 。 该式表示决策值与目标值 5000 之间可能存在正或负的偏差（请读 者分别按照上面所讲的三种情况来理解）。 绝对约束也可根据问题的需要变换为目标约束。此时将约束右端 项看作所追求的目标值。如，例 1 中绝对约束 1 2 x x + 10 ，可变换为目 标约束 1 2 10 i i x x d d − + + + − = 。 3．目标规划的目标函数