2400 21300 24 :41500=213 (-2)×14=-28 0 7947 3290 *练习题 100 (1)证明:2=0x-10 00 a2 xt a =x +ax +a,x t axt a4 b (2)证明:a2b2c2|=(a+b+cc-a(b-ac-b) b+c a+c a+b 0 aa (3)计算:D4 11-a 解:D4=(-a)D+(--1)2-1-1-a=0 而D2=(1-a)D2+a-a2;D2=1-a+a D,=(1-a(1-a)D2+a-a2]+a-a2+a=1-a+a2-a3+a 另法:第一列拆开
20 例： ( 2) 14 28. 0 2 7 1 4 1 5 2 1 3 1 2 4 3 2 9 0 2 7 9 4 7 1 4 1 5 0 0 2 1 3 0 0 1 2 4 0 0 = = − = − *练习题 （1）证明： 4 3 2 1 4 0 0 1 0 1 0 1 0 0 a a a x a x x x D + − − − = 3 4. 2 2 3 1 4 = x + a x + a x + a x + a （2）证明： ( )( )( )( ). 2 2 2 a b c c a b a c b b c a c a b a b c a b c = + + − − − + + + （3）计算： , 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 4 a a a a a a a D − − − − − − − = 解： •••• •••• a ••• a•••a •a•••• ••••• D a D − − = − + − − − − + 0 1 1 1 1 0 0 (1 ) ( 1)( 1) 1 2 4 3 而 2 3 2 D = (1− a)D + a − a ； 2 D2 =1− a + a 2 3 2 2 3 4 •D 4 = (1− a) (1− a)D2 + a − a + a − a + a =1− a + a − a + a 另法：第一列拆开
asea 0“1-a- l1-a0 0∽-11-a D3+(-a) 则D3=D2+(-a)3 故D4=D2+(-a)3+(-a)4=1-a+a2-a3+a4 0 0 002 (4)计算:a,xa21y 03004 解:第2列与第4列互换,再把第2行与第5行互换,得 a.Ia D =2|1 a,° 000·1~2 =2(a3-a1)a2-a1) §1.4 Cr amer法则 [学习要求] 1)掌握 Cramer法则解线性方程组。 2)了解齐次线性方程组有非零解的条件 、解非齐次线性方程组
21 4 4 3 ( ) 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 D a •• •••• •••• •••• a• •• ••• •••• a•••a ••• a•••a••••• a•••a••••• ••••• ••• •••• ••• a •• •••• a•••a •• a•••a••••• ••a•••••• ••••• D = + − − − − − − − − + − − − − − = 则 3 3 2 D = D + (−a) 故 3 4 2 3 4 D4 = D2 + (−a) + (−a) =1− a + a − a + a （4）计算： a z a w a x a y a a 1 0 3 0 0 4 1 0 1 0 0 2 0 1 0 2 3 3 2 2 2 2 1 1 。 解：第 2 列与第 4 列互换，再把第 2 行与第 5 行互换，得 2( )( )( ) 1 1 1 2 1 2 3 4 1 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 3 4 1 1 1 0 0 3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 •• a a a a a a • • ••a ••a ••a ••a ••a ••a •• •• •• a •• ••a a •• ••a a •• ••a •••• •••• ••• •••• •••• •••• ••• •••• a ••• •••a ••x•••y a ••• •••a ••z•••w a ••• •••a ••• ••• D • = − − − = = = §1.4 Cramer 法则 [学习要求]： 1）掌握 Cramer 法则解线性方程组。 2）了解齐次线性方程组有非零解的条件。 一、解非齐次线性方程组
a1x1+a1x+…+a1nxn= b a21x1+a22x2+.+ann=b2 x:=b.t=1.2. anx+an2x2+.+anxn=b 为消x2,x3,…xn,可利用行列式展开定理。用A12A212…,An1分别依 次乘上面各方程 a11A1X1+a12Aux2+.+anAuXn=6au1 a21421x1+a2421x2+…+a2m121xn1=b2A21 ⊕an1An1x1+an2An1x2+…+anAn1xn=bn41 Dx1+0x2+…+0xn=bA1+b2421+…+bnAn x=[b141+b2A21+…+bnAn] 12213 当D≠0, h2 23 D D an3 人 (列)
22 a x b i n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n j ij j i n n n n n n n n n n , 1, 2, , 1 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 = = + + + = + + + = + + + = = 为消 n x , x , x 2 3 ，可利用行列式展开定理。用 11 21 1 , , , A A An 分别依 次乘上面各方程： 1 1 1 2 1 2 1 1 21 21 1 22 21 2 2 21 2 21 11 11 1 12 11 2 1 11 1 11 n n n n n n n n n n n n n n a A x a A x a A x b A a A x a A x a A x b A a A x a A x a A x b A + + + = + + + = + + + = 1 0 2 0 n b1A11 b2A21 bn An1 Dx + x ++ x = + ++ 当 D 0, D D b a a a b a a a b a a a D b A b A b A D x n n n n n n n n n 1 2 3 2 22 23 2 1 12 13 1 1 1 11 2 21 1 1 [ ] 1 = = = + + + ( ) , 1 21 2 2 11 1 1 i 列 a b a a b a a b a D n n n n n n i 令 =
同理得:x,=D D D 定理1非齐次线性方程组A+=b,D=1nl≠0 则有唯一解 当D=0时,方程组可能有解,也可能无解。 、齐次线性方程组 11 …+a1X 0 a21x1 0 an1X+……+a nnn 0 1)齐次方程组总有一组零解:x1=0,x2=0,…xn=0 2)当有某x1≠0,称解xx23…x为一组非零解 若D≠0,又由于D,=0,XD0,i=1,2,…,n 故有结论:D≠0,齐次方程组仅有零解。 等价结论:齐次方程组有非零解,则D=0。 定理2]齐次线性方程组有非零解 ◇D=0
23 同理得： D D x D D x n = , , n = 2 2 。 定理 1 非齐次线性方程组 = = = n j ij j bi D aij a x 1 , 0 ， 则有唯一解 . D D x i i = 当 D = 0 时，方程组可能有解，也可能无解。 二、齐次线性方程组 = = = + + = + + = + + = n j ij j n n n n n n n n a x i n a x a x a x a x a x a x 1 1 1 21 1 2 11 1 1 0 1,2, , . 0 0 0 1）齐次方程组总有一组零解： x1 = 0, x2 = 0, , xn = 0 2）当有某 xt 0 ，称解 n x • , x • , x 1 2 为一组非零解。 若 D 0 ，又由于 i n D D D x i i i = 0, = = 0 , = 1, 2,, 故有结论： D 0 ，齐次方程组仅有零解。 等价结论：齐次方程组有非零解，则 D = 0。 定理 2 齐次线性方程组有非零解 D = 0
2x1+x2-x3+x4=1 x1-x+2x2-x 4 =2 例1: x1+x2-x3+x4=1 3x1+x,-x3+2x4=0 解 (-2) 12 D 4-7 2-12-1 01-12 D D D D x 2 +x3=0 例2:{x+kx2+x3=0有非零解,求k 3x1-x2+x3=0 解:齐次方程组,有非零解,则D=0
24 例 1： + − + = + − + = − + − = + − + = 3 2 0 1 2 2 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 解： 0 4 7 5 0 2 3 2 1 1 2 1 0 3 5 3 ( 3) ( 1) ( 2) 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 − − − − − = − − − − − − − − D = 1 4 7 5 2 3 2 3 5 3 1 ( 1) 1 2 = − − − − = − + 0 5 3 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 = 2 = − 3 = − 4 = − − − − − D = ， D ， D ， D 0, 5, 3, 1 4 4 3 3 2 2 1 1 = = = = = = = = − D D x D D x D D x D D x 。 例 2： − + = + + = − + = 3 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x kx x kx x x 有非零解，求 k 。 解：齐次方程组，有非零解，则 D = 0 (−1)